PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 43
Dada una parte A de un conjunto universal E, decimos que el complemento de A con respecto a E, es el conjunto de elementos de E que no pertenecen a A. Para obtener el complemento del conjunto dado, aplicamos las leyes de Morgan:
    \(\overline{(\bar{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap \bar{B} )} \)
Y operando sucesivamente:
    \(\overline{(\bar{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap \bar{B} )} = \overline{(\bar{A} \cap B \cap C) } \cap \overline{(A \cap \bar{B} )} = \)

    \( = [ A \cup \overline{(B \cap C)}] \cap ( \bar{A} \cup B ) =(A \cup \bar{B} \cup \bar {C}) \cap ( \bar{A} \cup B )\)
Donde hemos aplicado la propiedad de que el complmento del complemento de un conjunto es el propio conjunto dado.

Cuando estudiamos la teoría de conjuntos, resultados análogos a los obtenidos al deducir las leyes de Morgan pueden ser deducidos para otras fórmulas y decimos en ese caso que tenemos dos fórmulas duales
    \(\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \; \Leftrightarrow \; \overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \)
En nuestro caso, tendremos como expresión dual de la dada:
    \(\overline{(\bar{A} \cup B \cup C) \cap (A \cup \bar{B} )} = (A \cap \bar{B} \cap \bar {C}) \cup ( \bar{A} \cap B )\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás