PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 42
Veamos si con la relación definida se verifican las propiedades que caracterizan a una relación de equivalencia. Se tiene :
    Propiedad reflexiva \( \forall a \in E \; a \; R' \; a \) ya que \( a R a \; y \; a R a \) por ser R reflexiva
Y también:
    Propiedad simétrica.- Si \( a \; R' \; b \) , por definición, es lo mismo que decir \( a R b \; y \; b R a \) pero entonces se cumple \( b R a \; y \; a R b \) y, consecuentemente \( b \; R' \; a \)
Propiedad transitiva. Si tenemos \( a \; R' \; b \; y \; b \; R' \; c \) resulta que se cumple:
    \( (a R b \; y \; b R a) \; \; y \; \; (b R c \; y \; c R b) \)
Y entonces, por ser R transitiva:
    \(\left \{ \begin{matrix} \mbox{si } a R' b \Rightarrow a R b \; y \; b R a
    \\ \mbox{si } b R' c \Rightarrow b R c \; y \; c R b \end{matrix}\right. \left | \begin{matrix} a R b \; y \; b R c \Rightarrow a R c
    \\ c R b \; y \; b R a \Rightarrow c R a \end{matrix}\right. \Rightarrow \; a R' c \)
y queda demostrado lo que nos proponíamos
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tema escrito por: José Antonio Hervás