PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Sean los conjuntos A = [-1, 1] y B = R y las aplicaciones de A en B :
    \( j: \; x \; \rightarrow \; j(x) = \;\left \{\begin{array}{l} 0 \; si\; x \in Q \\ \\ \\ 1 \; si\; x \not\in Q \end{array} \right. ; \; k: \; x \; \rightarrow \quad k(x) = + \sqrt{1-x^2}\)
Deducir cuales de las anteriores aplicaciones son sobreyectivas, inyectivas, biyectivas. En el caso de las biyecciones, obtener las inversas.

Respuesta al ejercicio 41
La función j no es sobreyectiva porque el conjunto imagen contiene dos elementos {0 ; 1}. La función j no es inyectiva pues se tiene :
    \( \begin{array}{l} \forall x \in Q \; | \; -1 < x < +1 \Rightarrow f(x) = 0 \; ; \\  \\ \forall x \in \textbf{C}_R Q \; | \; -1 < x < +1 \Rightarrow f(x) = 1 \end{array}\)
En este caso la función no es biyectiva.

La función k no es sobreyectiva porque
    \( y = \sqrt{1-x^2} \quad \Rightarrow \quad y^2 = 1-x^2 \; \Rightarrow \; x = \sqrt{1-y^2}\)
y cuando y sea mayor que 1 no existirá x en el intervalo cerrado [-1, +1].

La aplicación k no será iyectiva porque :
    \( + \sqrt{1-x^2} = + \sqrt{1-y^2} \; \Rightarrow \; 1-x^2 = 1-y^2 \; \Rightarrow \; x^2 = y^2\)
pero se tiene :
    \( (-x)^2 = (+x)^2 \) siendo (-x) distinto de x.
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tema escrito por: José Antonio Hervás