PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 40

Veamos si la ley de composición interna definida es asociativa:
    \(\begin{array}{l} a \top (b \top c) = a(b \top c) + a + (b \top c) =\\ \\ = a(bc + b + c)+a+(bc + b + c) = \\ \\ = abc + ab + ac + bc + a + b + c \\ \\ (a \top b) \top c = (a \top b)c + (a \top b) + c =\\ \\ = (ab + a + b)c + (ab + a + b) + c = \\ \\ = abc + ac + bc + ab + a + b + c \end{array}\)
Y hemos comprobado que si es asociativa.
Veamos si es conmutativa:
    \( \left. \begin{array}{l} a \top b = ab + a + b \\ \\ b \top a = ba + b + a \end{array}\right\} \; ab +a + b = ba + b + a\)
Y la ley es conmutativa por serlo la multiplicación (•) y la adición (+) normales en R.
Elemento neutro. Se ha de cumplir:
    \( \exists x \in R \quad | \quad e \top x = x \top e = x \; , \; \forall x \in R \)
Por lo tanto, hacemos:
    \( \left. \begin{array}{c} e \top x = ex + e + x \\ \\ x \top e = xe + x + e \end{array}\right\}\quad e \top x = x \;\) cuando e = 0
Los elementos simétricos cumplirán:
    \( x' | x' \top x = x \top x' = e = 0\)
De donde tenemos:
    \( x' \top x = x'x + x + x' = x'(x+1) + x = 0 \rightarrow x' = \displaystyle - \frac{x}{x+1} \)
Por lo que existirá elemento simétrico (inverso) para todo elemento x distinto de -1.
Veamos ahora si la ley es distributiva respecto al producto ordinario. Tenemos:
    \( \begin{array}{l} a \top (bc) = a(bc) + a + bc = abc + a + bc\\  \\ (a \top b)(a \top c) = (ab + a + b)(ac + a + c) =\\  \\ a^2bc + a^2b + abc + a^c +\\  \\ + a^2 + ac + abc + ba + bc \end{array}\)
Y resulta que la ley definida no es distributiva para el producto.
Para la adición ordinaria tenemos:
    \( \begin{array}{l}
    a \top (b + c) = a(b+c) + a + b (b+c) = ab + ac + a + b + c\\
     \\
    (a \top b) + (a \top c) = (ab + a + b) + (ac + a + c) = \\
     \\
    = ab + a + b + ac + a + c
    \end{array}\)
Y, por tanto, la ley definida tampoco es distributiva respecto de la adición normal.
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tema escrito por: Jos Antonio Hervs