Ejercicios de álgebra
Respuesta al ejercicio 40
Veamos si la ley de composición interna definida es asociativa:
\(\begin{array}{l} a \top (b \top c) = a·(b \top c) + a + (b \top
c) =\\ \\ = a·(b·c + b + c)+a+(b·c + b + c) = \\ \\ = abc + ab + ac +
bc + a + b + c \\ \\ (a \top b) \top c = (a \top b)·c + (a \top
b) + c =\\ \\ = (a·b + a + b)c + (a·b + a + b) + c = \\ \\ = abc + ac
+ bc + ab + a + b + c \end{array}\)
Y hemos comprobado que si es asociativa.
Veamos si es conmutativa:
\( \left. \begin{array}{l} a \top b = a·b + a + b \\ \\ b \top
a = b·a + b + a \end{array}\right\} \; a·b +a + b = b·a + b +
a\)
Y la ley es conmutativa por serlo la multiplicación (•)
y la adición (+) normales en R.
Elemento neutro. Se ha de cumplir:
\( \exists x \in R \quad | \quad e \top x = x \top e = x \; ,
\; \forall x \in R \)
Por lo tanto, hacemos:
\( \left. \begin{array}{c} e \top x = e·x + e + x \\ \\ x \top
e = x·e + x + e \end{array}\right\}\quad e \top x = x \;\) cuando
e = 0
Los elementos simétricos cumplirán:
\( x' | x' \top x = x \top x' = e = 0\)
De donde tenemos:
\( x' \top x = x'·x + x + x' = x'(x+1) + x = 0 \rightarrow x'
= \displaystyle - \frac{x}{x+1} \)
Por lo que existirá elemento simétrico (inverso) para
todo elemento x distinto de -1.
Veamos ahora si la ley es distributiva respecto al producto ordinario.
Tenemos:
\( \begin{array}{l}
a \top (b·c) = a·(b·c) + a + b·c = abc + a + bc\\
\\
(a \top b)·(a \top c) = (ab + a + b)·(ac + a + c) =\\
\\ a^2bc + a^2b + abc + a^c +\\
\\
+ a^2 + ac + abc + ba + bc
\end{array}\)
Y resulta que la ley definida no es distributiva para el producto.
Para la adición ordinaria tenemos:
\( \begin{array}{l}
a \top (b + c) = a(b+c) + a + b (b+c) = ab + ac + a + b + c\\
\\
(a \top b) + (a \top c) = (ab + a + b) + (ac + a + c) = \\
\\
= ab + a + b + ac + a + c
\end{array}\)
Y, por tanto, la ley definida tampoco es distributiva respecto
de la adición normal.