Ejercicios de álgebra

Para el conjunto de los enteros, se consideran las leyes de composición siguientes:

\( a \times b = a + 2·b \quad ; \quad a \top b = 2·a·b\)

Son asociativas, conmutativas y distributivas la una de la otra, en Z?

Respuesta al ejercicio 39

Para que las leyes definidas sean asociativas, se ha de cumplir:

\(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \quad ; \quad a \top (b \top c) = (a \top b) \top c\)

Y se tiene:

\( a \times (b \times c) = a + 2·(b \times c) = a + 2·(b+2·c) = a + 2·b + 4·c \; ;\)

\( (a \times b) \times c = (a \times b) + 2·c = a + 2·b + 2·c \)

Por lo que la primera de las leyes no es asociativa.

\( a \top (b \top c) = 2·a·(b \top c) = 2·a·(2·b·c)= 4·a·b·c\)

\( (a \top b) \top c = 2·(a \top b)·c = 2(2·a·b)·c = 4·a·b·c \)

Y la segunda de las leyes si es asociativa.
Para que las leyes sean conmutativas se ha de cumplir:

\( a \times b = b \times a \quad ; \quad a \top b = b \top a\)

Y tenemos:

\( \left. \begin{array}{c}
a \times b = a + 2·b \\
\\
b \times a = b + 2·a
\end{array}\right\} a + 2·b \neq b + 2·a \)

Por lo que la primera de las leyes no es conmutativa.

\(\left. \begin{array}{c}
a \top b = 2·a·b \\
\\
b \top a = 2·b·a
\end{array}\right\} 2·a·b = 2·b·a\)

Y la segunda ley si es conmutativa por ser conmutativo en Z el producto normal.
Por último, para que las leyes definidas sean distributivas una respecto a la otra, se ha de cumplir a izquierda (respectivamente a derecha):

\( a \times (b \top c) = (a \times b) \top (a \times c)\; ; \; a \top (b \times c) = (a \top b) \times (a \top c)\)

La primera de las leyes, como no es conmutativa, se ha de ver si es distributiva por la izquierda y por la derecha; para la segunda, no es necesario hacer los dos casos puesto que es conmutativa. Veamos entonces si la primera de las leyes es distributiva a izquierda:

\( a \times (b \top c) = a + 2(b \top c) = a + 2·(2·b·c) = a + 4·b·c\)

\((a \times b) \top (a \times c) = 2·(a \times b)·(a \times c) = 2·(a+2·b)·(a+2·c) = \)

\( = 2(a^2 + 2·a·c + 2·a·b + 4·b·c) = 2a^2 + 4ab + 4ac + 8bc\)

Y puede verse que la primera ley no es distributiva respecto a la segunda por la izquierda. Se demuestra de igual modo que tampoco es distributiva por la derecha.
Para la segunda ley tenemos:

\( a \top (b \times c) = 2·a(b \times c) = 2·a(b + 2·c) = 2·a·b + 4·a·c\)

\( (a \top b) \times (a \top c) = (a \top b) + 2(a \top c) = 2ab + 2·2·ac = 2ab + 4ac\)

Y es distributiva por la izquierda. Como además es conmutativa, también será distributiva a la derecha.