PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 39

Para que las leyes definidas sean asociativas, se ha de cumplir:
    \(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \quad ; \quad a \top (b \top c) = (a \top b) \top c\)
Y se tiene:
    \( a \times (b \times c) = a + 2·(b \times c) = a + 2·(b+2·c) = a + 2·b + 4·c \; ;\)

    \( (a \times b) \times c = (a \times b) + 2c = a + 2b + 2c \)
Por lo que la primera de las leyes no es asociativa.
    \( a \top (b \top c) = 2a(b \top c) = 2a(2bc)= 4abc\)

    \( (a \top b) \top c = 2(a \top b)c = 2(2ab)c = 4abc \)
Y la segunda de las leyes si es asociativa.
Para que las leyes sean conmutativas se ha de cumplir:
    \( a \times b = b \times a \quad ; \quad a \top b = b \top a\)
Y tenemos:
    \( \left. \begin{array}{c}
    a \times b = a + 2·b \\
    \\
    b \times a = b + 2·a
    \end{array}\right\} a + 2·b \neq b + 2·a \)
Por lo que la primera de las leyes no es conmutativa.
    \(\left. \begin{array}{c}
    a \top b = 2ab \\
    \\
    b \top a = 2ba
    \end{array}\right\} 2ab = 2ba\)
Y la segunda ley si es conmutativa por ser conmutativo en Z el producto normal.
Por último, para que las leyes definidas sean distributivas una respecto a la otra, se ha de cumplir a izquierda (respectivamente a derecha):
    \( a \times (b \top c) = (a \times b) \top (a \times c)\; ; \; a \top (b \times c) = (a \top b) \times (a \top c)\)
La primera de las leyes, como no es conmutativa, se ha de ver si es distributiva por la izquierda y por la derecha; para la segunda, no es necesario hacer los dos casos puesto que es conmutativa. Veamos entonces si la primera de las leyes es distributiva a izquierda:
    \( a \times (b \top c) = a + 2(b \top c) = a + 2(2bc) = a + 4bc\)

    \((a \times b) \top (a \times c) = 2(a \times b)(a \times c) = 2(a+2b)(a+2c) = \)

    \( = 2(a^2 + 2ac + 2ab + 4bc) = 2a^2 + 4ab + 4ac + 8bc\)
Y puede verse que la primera ley no es distributiva respecto a la segunda por la izquierda. Se demuestra de igual modo que tampoco es distributiva por la derecha.
Para la segunda ley tenemos:
    \( a \top (b \times c) = 2a(b \times c) = 2a(b + 2c) = 2ab + 4ac\)

    \( (a \top b) \times (a \top c) = (a \top b) + 2(a \top c) = 2ab + 22ac = 2ab + 4ac\)
Y es distributiva por la izquierda. Como además es conmutativa, también será distributiva a la derecha.
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tema escrito por: Jos Antonio Hervs