PROBLEMAS RESUELTOS
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Ejercicios de álgebra

Demostrar que la intersección de conjuntos es distributiva respecto de la diferencia de conjuntos pero que la unión no lo es.

Respuesta al ejercicio 38

En el primer caso, tenemos que demostrar que se cumple:
    \( A \cap (B-C) = (A \cap B) - (A \cap C) \)
Y resulta:
    \( \begin{array}{l}
    A \cap (B-C) = A \cap (B \cap \bar{C}) = (A \cap B)- (A \cap C) = \\
    \\
    =(A \cap B)\cap \overline{(A \cap C)} = (A \cap B)\cap (\bar{A} \cup \bar{C})=\\ \\
    (A \cap B)\cap \bar{A}) \cup (A \cap B)\cap \bar{C}) = (\emptyset \cap B) \cup (A \cap B)\cap \bar{C}) = \\
    \\
    = A \cap (B\cap \bar{C}) \end{array}\)
Por lo tanto, se confirma lo dicho, es decir la intersección de conjuntos es distributiva respecto a la diferencia de conjuntos.
En el segundo caso tenemos:
    \( A \cup (B-C) = A \cup (B \cap \bar{C}) = (A \cup B) \cap (B \cap \bar{C}) \)

    \( (A \cup B) - (A \cup C) = (A \cup B) \cap \overline{(A \cup C)} = (A \cup B) \cap (\bar{A} \cup \bar{C})\)
Y puesto que los dos desarrollos dan resultados distintos, podemos decir que la unión de conjuntos no es distributiva respecto de la diferencia de conjuntos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás