PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 38

En el primer caso, tenemos que demostrar que se cumple:
    \( A \cap (B-C) = (A \cap B) - (A \cap C) \)
Y resulta:
    \( \begin{array}{l}
    A \cap (B-C) = A \cap (B \cap \bar{C}) = (A \cap B)- (A \cap C) = \\
    \\
    =(A \cap B)\cap \overline{(A \cap C)} = (A \cap B)\cap (\bar{A} \cup \bar{C})=\\ \\
    (A \cap B)\cap \bar{A}) \cup (A \cap B)\cap \bar{C}) = (\emptyset \cap B) \cup (A \cap B)\cap \bar{C}) = \\
    \\
    = A \cap (B\cap \bar{C}) \end{array}\)
Por lo tanto, se confirma lo dicho, es decir la intersección de conjuntos es distributiva respecto a la diferencia de conjuntos.
En el segundo caso tenemos:
    \( A \cup (B-C) = A \cup (B \cap \bar{C}) = (A \cup B) \cap (B \cap \bar{C}) \)

    \( (A \cup B) - (A \cup C) = (A \cup B) \cap \overline{(A \cup C)} = (A \cup B) \cap (\bar{A} \cup \bar{C})\)
Y puesto que los dos desarrollos dan resultados distintos, podemos decir que la unión de conjuntos no es distributiva respecto de la diferencia de conjuntos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás