PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 37

Por una parte tenemos:
    \(\begin{array}{l} Si \; x \in (A-B) \rightarrow \left \{\begin{array}{c} x \in A \rightarrow x \in A \\ \\ x \not\in B \rightarrow x \in B \end{array}\right\} \rightarrow \\  \\ x \in (A-\bar{B}) \rightarrow (A-B) \subseteq (A \cap \bar{B}) \\  \\ Si \; x \in (A \cap \bar{B}) \rightarrow \left \{\begin{array}{c} x \in A \rightarrow x \in A \\ \\ x \in B \rightarrow x \not\in B \end{array}\right\} \rightarrow \\  \\ \rightarrow x \in (A-B) \rightarrow (A \cap \bar{B}) \subseteq (A - B) \end{array}\)
Y por otra:
    \(\begin{array}{l} SI \; x \in (A \cap \bar{B}) \rightarrow \left \{\begin{array}{c} x \in A \rightarrow x \not\in \bar{A} \\ \\ x \in B \rightarrow x \in B \end{array}\right\} \rightarrow \\  \\ \rightarrow x \in (\bar{B} - \bar{A}) \rightarrow (A \cap \bar{B}) \subseteq (\bar{B} - \bar{A}) \\  \\ Si \; x \in (\bar{B} - \bar{A}) \rightarrow \left \{\begin{array}{c} x \in B \rightarrow x \in B \\ \\ x \not\in \bar{A} \rightarrow x \in A \end{array}\right\} \rightarrow \\  \\ \rightarrow x \in (A \cap \bar{B}) \rightarrow (\bar{B} - \bar{A}) \subseteq (A \cap \bar{B}) \end{array}\)
Con lo que hemos demostrado lo propuesto en la primera cuestión.
Para ver si la diferencia de conjuntos verifica la propiedad conmutativa hacemos:
    \( \left. \begin{array}{c}
    A-B = A \cap \bar{B} \\
    \\
    B-A = B \cap \bar{A}
    \end{array}\right\} \quad pero \;(A \cap \bar{B}) \neq (B \cap \bar{A}) \rightarrow A-B \neq B-A \)
Y, por lo tanto, la diferencia de conjuntos no verifica la propiedad conmutativa.
Finalmente, averigüemos si la diferencia de conjuntos cumple la propiedad asociativa. Tenemos:
    \( \begin{array}{l} A-(B-C) = A - (B \cap \bar{C}) = A \cap \overline{(B \cap \bar{C})} = A \cap (\bar{B}\cup C) \\  \\ (A-B) - C = (A \cap \bar{B}) - C = (A \cap \bar{B}) \cap \bar{C} = A \cap (\bar{B} \cap \bar{C}) \end{array}\)
Y vemos que la diferencia de conjuntos no cumple la propiedad asociativa.
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tema escrito por: José Antonio Hervás