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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 36

La expresión simbólica del enunciado propuesto es:
    \( (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) = B \leftrightarrow A = \emptyset \)
Y para demostrar lo dicho vamos a demostrar antes que se cumple:
    \( (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) =A \cup B \leftrightarrow A \cap B = \emptyset \quad (\ast) \)
Veamos que si \( A \cap B = \emptyset \) tenemos:
    \( \left.\begin{array}{c}
    A \cap \bar{B} = A \\
    \\
    \bar{A} \cap B = B
    \end{array}\right\} \rightarrow (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) = A \cup B \)
Recíprocamente, vemos que si:
    \((A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) = A \cup B \)
Ello obliga a que se cumpla \(A \cap B = \emptyset\). En efecto, sea:
    \( x \in (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) \)
Entonces, se cumple que:
    \(\begin{array}{l} x \in (A \cap \bar{B}) \; \left \{\begin{array}{c} x \in A \\ \\ x \not\in B \end{array}\right. \rightarrow \\  \\ \rightarrow x \in (A-B) \wedge x \in (\bar{A} \cap B) \; \left \{\begin{array}{c} x \in B \\ \\ x \not\in A \end{array}\right. \rightarrow x \in (B-A) \end{array}\)
Pero con ello aseguramos que:
    \((A-B) \cup (B-A) = A \cup B\)
Lo cual requiere que \( A \cap B = \emptyset \) y todo lo visto demuestra (*).
Si en el resultado demostrado hacemos A = Ø, tenemos:
    \( B \cup \emptyset = B \; ; \; B \cap \emptyset = \emptyset \rightarrow (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) = B \leftrightarrow A = \emptyset \)
Lo que demuestra la llamada ley de Poretsky, que dice que Si A y B son subconjuntos de un conjunto universal U, si su diferencia simétrica es igual a uno de ellos, el otro es el conjunto vacío.
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tema escrito por: José Antonio Hervás