PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 35

Si representamos por \( \Delta \) la operación diferencia simétrica de dos conjuntos, tenemos que demostrar que se cumple:
    \( \forall A \; ; \; \forall B \; ; \; \forall C \; ; \; A \cap (B\Delta C) = (A \cap B)\Delta (A \cap C) \)
Veamos entonces cuánto vale cada miembro de la anterior expresión. Para el miembro de la izquierda tenemos:
    \(\begin{array}{l} A \cap (B\Delta C) = A \cap [(B \cap \bar{C}) \cup (\bar{B} \cap C)] = \\  \\ [A \cap (B \cap \bar{C}) ] \cup [A \cap (\bar{B} \cap C)] = \\  \\ = (A \cap B \cap \bar{C}) \cup (A \cap \bar{B} \cap C) \end{array}\)
Para el miembro de la derecha, aplicando las leyes de Morgan y la propiedad distributiva de la intersección de conjuntos, resulta:
    \(\begin{array}{l}
    (A \cap B)\Delta (A \cap C) = \\
     \\
    = [(A \cap B)\cap (\overline{A \cap C})]\cup [(\overline{A \cap B}) \cap (A \cap C)] =\\
     \\
    = [(A \cap B)\cap (\bar{A} \cup \bar{C})]\cup [(\bar{A} \cup \bar{B}) \cap (A \cap C)] = \\
     \\
    = [(A \cap B \cap \bar{A}) \cup (A \cap B \cap \bar{C}) ] \cup \\
     \\
    \cup [(\bar{A} \cap A \cap C)\cup (\bar{B} \cap A \cap C)] = \\
     \\
    = [\emptyset \cup (A \cap B \cap \bar{C}) ]\cup [\emptyset \cup (\bar{B} \cap A \cap C)] =\\
     \\
    = [A \cap B \cap \bar{C}]\cup [\bar{B} \cap A \cap C]
    \end{array}\)
Y en los dos casos hemos llegado a la misma expresión a través de una cadena de igualdades, con lo que queda demostrado lo que nos proponíamos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás