PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 34

Consideramos la primera de las ecuaciones. Sea x un elemento perteneciente al complemento de la unión de los conjuntos A y B, podemos hacer:
    \( x \in \overline{A \cap B} \rightarrow x \not\in A \cap B \)
Y lo último significa que el elemento x considerado o bien no pertenece al conjunto A o bien no pertenece al conjunto B, es decir:
    \( x \in \bar{A} \vee x \in \bar{B}\rightarrow x \in \bar{A} \cup \bar{B} \rightarrow \overline{A \cap B} \subseteq \bar{A} \cup \bar{B} \)
Inversamente, sea x un elemento perteneciente a la unión de los complementarios de los conjuntos A y B, tenemos:
    Si \( x \in \bar{A} \cup \bar{B} \rightarrow x \in \bar{A}\; \wedge x \in \bar{B} \rightarrow x \not\in \bar{A}\; \wedge x \not\in \bar{B}\)
Y a partir de ahí:
    \( \left.\begin{array}{c}
    Si \; x \not\in A \rightarrow x \not\in A \cap B \rightarrow x \in \overline{A \cap B} \\
    \\
    Si \; x \not\in B \rightarrow x \not\in A \cap B \rightarrow x \in \overline{A \cap B}
    \end{array}\right\} \bar{A} \cup \bar{B} \subseteq \overline{A \cap B} \)
Con lo que se tiene:
    \( \bar{A} \cup \bar{B} \subseteq \overline{A \cap B}\)
Y hemos demostrado la primera de las expresiones.
Para demostrar la segunda hacemos:
    \(\begin{array}{l} Si \;x \in \overline{A \cup B}\rightarrow x \not\in A \cup B \rightarrow x \not\in A \wedge x \not\in B \rightarrow \\  \\ \rightarrow x \in \bar{A} \wedge x \in \bar{B} \rightarrow \overline{A \cup B} \subseteq \bar{A} \cup \bar{B} \end{array} \)
Inversamente,
    \(Si \;x \in \bar{A} \cap \bar{B}\rightarrow x \in \bar{A} \wedge x \in \bar{B} \rightarrow x \not\in A \wedge x \not\in B \rightarrow \)

    \( \rightarrow x \not\in A \cup B \rightarrow x \in \overline{ A \cup B} \rightarrow \bar{A} \cap \bar{B} \subseteq \overline{ A \cup B}\)
Y, en consecuencia:
    \( \bar{A} \cap \bar{B} = \overline{ A \cup B}\)
Y hemos demostrado la segunda de las expresiones.
Para demostrar la propiedad involutiva hacemos:
    \( \left.\begin{array}{c}
    Si \; x \in \overset{=}{A} \rightarrow x \not\in \bar{A} \rightarrow x \in A \rightarrow \overset{=}{A} \subseteq A \\
    \\
    Si \; x \in A \rightarrow x \not\in \bar{A} \rightarrow x \in \overset{=}{A} \rightarrow A \subseteq \overset{=}{A}
    \end{array}\right\} \; \overset{=}{A} = A \)
Que era lo que nos proponíamos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás