PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas resueltos de Álgebra

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas y ejercicios resueltos

 

Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 32

Para resolver la cuestión simplificamos por separado cada una de las expresiones entre corchetes. Aplicando reiteradamente la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión y las leyes de Morgan, tenemos:
    \(\begin{array}{l}
    [A' \cap (B \cup C)\cap D] = [(A' \cap B) \cup (A' \cap C)]\cap D = \\
     \\
    = (A' \cap B \cap D)\cup (A' \cap C \cap D) ; \\  \\
    [(A \cup B')\cap B]' =(A \cup B')' \cup B' =(A' \cap B)\cup B' = \\  \\
    = (A' \cup B')\cap (B \cup B') = (A' \cup B')\cap I = (A' \cup B')
    \end{array}\)
Y volviendo a considerar la expresión total:
    \(\begin{array}{l}
    [A' \cap (B \cup C)\cap D]\cup [(A \cup B')\cap B]' = \\
     \\
    = [(A'\cap B\cap D)\cup (A'\cap C\cap D)] \cup (A' \cup B') \\
     \\
    = A' \cup (A'\cap B\cap D)\cup B' \cup (A'\cap C\cap D)= \\
     \\
    [(A' \cup A')\cap (A' \cup B)\cap (A' \cup D)] \cup\\
     \\
    [(B' \cup A')\cap (B' \cup C)\cap (B' \cup D)] = \\
     \\
    A' \cup [(B' \cup A')\cap (B' \cup C)\cap (B' \cup D)]
    \end{array}\)
Donde para el último paso hemos considerado la de simplificación o ley de absorción. Continuando resulta:
    \( A' \cup [(B' \cup A')\cap (B' \cup C)\cap (B' \cup D)] = \)

    \( (A' \cup A' \cup B')\cap (A' \cup B' \cup C)\cap (A' \cup B' \cup D) = \)

    \((A' \cup B')\cap (A' \cup B' \cup C)\cap (A' \cup B' \cup D) = (A' \cup B') \)
Donde hemos aplicado de nuevo la ley de simplificación o de absorción.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - TEORÍA DE CONJUNTOS - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás