PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Simplificar la siguiente expresión relativa a los conjuntos A, B, C y D:
    \( [A'\cap (B\cup C)\cap D]\cup[(A \cup B')\cap B]'\)
Respuesta al ejercicio 32

Para resolver la cuestión simplificamos por separado cada una de las expresiones entre corchetes. Aplicando reiteradamente la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión y las leyes de Morgan, tenemos:
    \(\begin{array}{l}
    [A' \cap (B \cup C)\cap D] = [(A' \cap B) \cup (A' \cap C)]\cap D = \\
     \\
    = (A' \cap B \cap D)\cup (A' \cap C \cap D) ; \\  \\
    [(A \cup B')\cap B]' =(A \cup B')' \cup B' =(A' \cap B)\cup B' = \\  \\
    = (A' \cup B')\cap (B \cup B') = (A' \cup B')\cap I = (A' \cup B')
    \end{array}\)
Y volviendo a considerar la expresión total:
    \(\begin{array}{l}
    [A' \cap (B \cup C)\cap D]\cup [(A \cup B')\cap B]' = \\
     \\
    = [(A'\cap B\cap D)\cup (A'\cap C\cap D)] \cup (A' \cup B') \\
     \\
    = A' \cup (A'\cap B\cap D)\cup B' \cup (A'\cap C\cap D)= \\
     \\
    [(A' \cup A')\cap (A' \cup B)\cap (A' \cup D)] \cup\\
     \\
    [(B' \cup A')\cap (B' \cup C)\cap (B' \cup D)] = \\
     \\
    A' \cup [(B' \cup A')\cap (B' \cup C)\cap (B' \cup D)]
    \end{array}\)
Donde para el último paso hemos considerado la de simplificación o ley de absorción. Continuando resulta:
    \( A' \cup [(B' \cup A')\cap (B' \cup C)\cap (B' \cup D)] = \)

    \( (A' \cup A' \cup B')\cap (A' \cup B' \cup C)\cap (A' \cup B' \cup D) = \)

    \((A' \cup B')\cap (A' \cup B' \cup C)\cap (A' \cup B' \cup D) = (A' \cup B') \)
Donde hemos aplicado de nuevo la ley de simplificación o de absorción.
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tema escrito por: José Antonio Hervás