PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 31

El problema se puede resolver como sigue: Tomamos la nomenclatura: F = 95 ; A = 75 ; B = 80 ; C = 85 y consideramos los conjuntos F, B y C.
Veamos el número de personas aficionadas a los tres deportes, aplicando la relación entre las medidas de los conjuntos, es decir, entre sus cardinales:
    \( Card(F\cup B \cup C) = Card \; F + \; Card \; B + Card \; C - Card (F \cap B) - \)

    \( - Card (F \cap C) - Card (B \cap C) + Card (F \cap B \cap C)\)
Ahora bien, como hay 100 personas, el número máximo de ellas que puede haber aficionadas al mismo tiempo al futbol y al balonmano es de 100. De ahí, que podamos hacer:
    \( \begin{array}{l} Card (F \cap B) = Card \;F + Card \;B - Card (F \cup B) = \\  \\ = 95 + 80 - 100 = 75 \end{array}\)
Y análogamente para los valores mínimos de aficionados al balonmano y al ciclismo:
    \(\begin{array}{l} Card (B \cap C) = Card\;\; B + Card \;C - Card (B \cup C) = \\  \\ = 80 + 85 - 100 = 65 \end{array} \)
Y para los valores mínimos de aficionados al futbol y al ciclismo
    \(\begin{array}{l} Card (F \cap C) = Card\; F + Card \;C - Card (F \cup C) = \\  \\ = 95 + 85 - 100 = 80 \end{array} \)
Por consiguiente, el número mínimo de personas aficionadas al futbol, al balonmano y al ciclismo es:
    \(\begin{array}{l}
    Card (F \cap B \cap C) = Card(F\cup B \cup C) - Card \;F - Card \;B - \\  \\
    - Card \;C + Card (F \cap B) + \; Card (F \cap C) + Card (B \cap C) = \\  \\
    = 100 - 95 - 85 - 80 + 80 + 75 + 65 = 60
    \end{array}\)
Por lo tanto, si a este conjunto de personas aficionadas al futbol, balonmano y ciclismo, le llamamos D, la solución del problema vendrá dada por:
    \(\begin{array}{l} Card (D \cup A) = Card (D)+ Card (A) - card(D \cap A) \\  \\ Card (D \cap A) = Card (D)+ Card (A) - card(D \cup A) = \\  \\ = -100+65+75 = 35 \end{array}\)
Luego, como se cumple que:
    \( D \cap A = F \cap B \cap C \cap A\)
Tenemos que el número mínimo de personas aficionadas a los cuatro deportes es de 35
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tema escrito por: José Antonio Hervás