PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Sea en Q* la siguiente relación binaria:
    \( \displaystyle a R b \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{b^2} + b^2\)
Ver si es relación de equivalencia y, en caso afirmativo, determinar las clases.

Respuesta al ejercicio 30

Para que la relación dada en el enunciado sea de equivalencia se han de cumplir las siguientes propiedades:

Propiedad reflexiva:
    \( \displaystyle \forall a \in Q^* \; , \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{a^2} + a^2 \; (identidad) \; a R a \)
Propiedad simétrica:
    Si \( \displaystyle a R b \; \rightarrow \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{b^2} + b^2 \; \rightarrow \; \frac{1}{b^2} + b^2 = \frac{1}{a^2} + a^2 \; \rightarrow \; b R a\)
Propiedad transitiva:
    \(\begin{array}{l} Si \; \displaystyle \left\{\begin{array}{c} a R b \; \rightarrow \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{b^2} + b^2 \\ \\ b R c \; \rightarrow \; \frac{1}{b^2} + b^2 = \frac{1}{c^2} + c^2 \end{array}\right\} \; (sumando) \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \displaystyle \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{c^2} + c^2 ; \rightarrow \; a R c \end{array}\)
Se trata, pues, de una relación de equivalencia. La clase determinada por un elemento cualquiera “a” será:
    \( \displaystyle a R x \; \leftrightarrow \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{x^2} + x^2 \; \rightarrow \; x^2 + a^4x^2 = \)

    \( \displaystyle = a^2 + a^2x^4 \; \rightarrow \; x^2 - a^2 = a^2x^2(x^2 - a^2)\)
Podemos dividir por el factor común para obtener:
    \( a_1+a_2\)
Las clases de equivalencia serán de la forma:
    \( 1 = a^2x^2 ; \rightarrow \; x^2 =\displaystyle \frac{1}{a^2} ; \rightarrow \; x = \pm \frac{1}{a}\)
Y el conjunto cociente:
    \( Q^*/R \displaystyle = \left\{\left\{a, \quad + \frac{1}{a}, \quad - \frac{1}{a}\right\} \forall a \in Q^*\right\} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás