Ejercicios de álgebra - Respuesta 30

Para que la relación dada en el enunciado sea de equivalencia se han de cumplir las siguientes propiedades:

Propiedad reflexiva:

\( \displaystyle \forall a \in Q^* \; , \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{a^2} + a^2 \; (identidad) \; a R a \)

Propiedad simétrica:

Si \( \displaystyle a R b \; \rightarrow \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{b^2} + b^2 \; \rightarrow \; \frac{1}{b^2} + b^2 = \frac{1}{a^2} + a^2 \; \rightarrow \; b R a\)

Propiedad transitiva:

Si \( \displaystyle \left\{\begin{array}{c}
a R b \; \rightarrow \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{b^2} + b^2 \\
\\
b R c \; \rightarrow \; \frac{1}{b^2} + b^2 = \frac{1}{c^2} + c^2 \end{array}\right\} \; (sumando) \; \rightarrow \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{c^2} + c^2 ; \rightarrow \; a R c \)

Se trata, pues, de una relación de equivalencia. La clase determinada por un elemento cualquiera “a” será:

\( \displaystyle a R x \; \leftrightarrow \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{x^2} + x^2 \; \rightarrow \; x^2 + a^4x^2 = \)

\( \displaystyle = a^2 + a^2x^4 \; \rightarrow \; x^2 - a^2 = a^2x^2(x^2 - a^2)\)

Podemos dividir por el factor común para obtener:

\( a_1+a_2\)

Las clases de equivalencia serán de la forma:

\( 1 = a^2x^2 ; \rightarrow \; x^2 = \frac{1}{a^2} ; \rightarrow \; x = \pm \frac{1}{a}\)

Y el conjunto cociente:

\( Q^*/R = \left\{\left\{a, \quad + \frac{1}{a}, \quad - \frac{1}{a}\right\} \forall a \in Q^*\right\} \)