PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas resueltos de Álgebra

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas y ejercicios resueltos

 

Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 30

Para que la relación dada en el enunciado sea de equivalencia se han de cumplir las siguientes propiedades:

Propiedad reflexiva:
    \( \displaystyle \forall a \in Q^* \; , \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{a^2} + a^2 \; (identidad) \; a R a \)
Propiedad simétrica:
    Si \( \displaystyle a R b \; \rightarrow \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{b^2} + b^2 \; \rightarrow \; \frac{1}{b^2} + b^2 = \frac{1}{a^2} + a^2 \; \rightarrow \; b R a\)
Propiedad transitiva:
    \(\begin{array}{l} Si \; \displaystyle \left\{\begin{array}{c} a R b \; \rightarrow \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{b^2} + b^2 \\ \\ b R c \; \rightarrow \; \frac{1}{b^2} + b^2 = \frac{1}{c^2} + c^2 \end{array}\right\} \; (sumando) \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \displaystyle \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{c^2} + c^2 ; \rightarrow \; a R c \end{array}\)
Se trata, pues, de una relación de equivalencia. La clase determinada por un elemento cualquiera “a” será:
    \( \displaystyle a R x \; \leftrightarrow \; \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{x^2} + x^2 \; \rightarrow \; x^2 + a^4x^2 = \)

    \( \displaystyle = a^2 + a^2x^4 \; \rightarrow \; x^2 - a^2 = a^2x^2(x^2 - a^2)\)
Podemos dividir por el factor común para obtener:
    \( a_1+a_2\)
Las clases de equivalencia serán de la forma:
    \( 1 = a^2x^2 ; \rightarrow \; x^2 =\displaystyle \frac{1}{a^2} ; \rightarrow \; x = \pm \frac{1}{a}\)
Y el conjunto cociente:
    \( Q^*/R \displaystyle = \left\{\left\{a, \quad + \frac{1}{a}, \quad - \frac{1}{a}\right\} \forall a \in Q^*\right\} \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - TEORÍA DE CONJUNTOS - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás