PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Sea el conjunto:
    \( A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}\)
Y consideremos en A la relación binaria:
    \( x R y \quad \leftrightarrow \quad x / y\) (x divide a y)
Ver si dicha relación es de orden. Si es así, ver si es de orden total o parcial. Decir si está bien ordenado. Hallar los elementos distinguidos respecto a cada una de las partes:
    \( S_1 = \{8, 12, 16\} \; ; \; S_2 = \{2, 4, 6, 8\} \; ; \; S_3 = \{12, 16, 24, 48\} \)
Respuesta al ejercicio 29

Veamos si la relación dada es de orden:

Propiedad reflexiva:
    \( \forall a \in A \; , \; a/a \; \leftrightarrow \; a R a \)
Propiedad antisimétrica:
    \(\begin{array}{l} Si \;\left\{\begin{array}{c} aRb \; \leftrightarrow \; a/b \; \rightarrow \; a = bˇt_1 \\ \\ bRa \; \leftrightarrow \; b/a \; \rightarrow \; b = aˇt_2 \end{array}\right\} \\  \\ \; \rightarrow \; a = aˇt_2ˇt_1 \rightarrow \; t_2ˇt_1 = 1 \end{array}\)
Pero dado el conjunto A, t1 y t2 son elementos de Z, por lo que:
    \( t_1 = t_2 = 1 \; \rightarrow \; a = b·t_1 = b \)
Propiedad transitiva:
    \( \begin{array}{l} Si \; \left\{\begin{array}{c}
    aRb \; \leftrightarrow \; a/b \; \rightarrow \; a = b·t_1 \\
    \\
    bRc \; \leftrightarrow \; b/c \; \rightarrow \; b = c·t_2
    \end{array}\right\} \\
     \\
    \; \rightarrow \; a = c·t_2·t_1 \; \rightarrow \; a = c·t \; \rightarrow \; a/c \; \rightarrow \; a R c
    \end{array}\)
La relación es de orden pero no es de orden total ya que no todos los elementos son comparables entre sí. Por ejemplo 3 y 4 no son comparables, según se ve en el diagrama:

diagrama de un retículo

El conjunto está bien ordenado por la relación definida, pues posee primer elemento (el 1), que está relacionado con todos los demás.

Observando el diagrama anterior, podemos ver que los elementos distinguidos respecto de S1, S2 y S3 son, respectivamente:
    Cotas superiores : {48}, {24, 48}, {48} ; Cotas Inferiores : {1, 2, 4}, {1, 2}, {1, 2, 4};

    Supremo : {48}, {24}, {48} ; ínfimo : {4}, {2}, {4}

    Máximo: {no}, {no}, {48} ; mínimo: {no}, {2}, {no}

    Maximales: {12, 16}, {6, 8}, {48} ; minimales : {8, 12}, {2}, {12, 16}
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tema escrito por: José Antonio Hervás