PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 28

Para la primera relación tenemos:

Propiedad reflexiva:
    \( \forall X \in P(A) \; , \; X \cup S =X \cup S \; \leftrightarrow \; X R X \)
Propiedad simétrica:
    sI \( X R Y \; \rightarrow \; X \cup S = Y \cup S \; \rightarrow \; Y \cup S = X \cup S \; \rightarrow \; Y R X\)
Propiedad transitiva:
    \(\begin{array}{l}
    Si \;\left.\begin{array}{c}
    X R Y \leftrightarrow X \cup S = Y \cup S \\
    \\
    Y R Z \leftrightarrow Y \cup S = Z \cup S
    \end{array}\right\} \rightarrow \\
     \\
    \rightarrow X \cup S = Y \cup S = Z \cup S \rightarrow X \cup S = Z \cup S \rightarrow X R Z
    \end{array}\)
Para ver si R’ es de equivalencia se opera de modo análogo.

Vamos a determinar, entonces, las clases que determina cada relación. El conjunto P(A) es:
    \( P(A) = \left\{\begin{array}{c}
    \emptyset \; , \; \{1\} \; , \; \{2\} \; , \; \{3\} \; , \; \{4\} \; , \; \{1,2\} \; , \; \{1,3\} \; , \; \{1, 4\} \; , \; \{2,3\} \; , \; \{2, 4\}\\
    \\
    \{3, 4\} \; , \; \{1, 2, 3\} \; , \; \{1, 2, 4\} \; , \; \{1, 3, 4\} \; , \; \{2, 3, 4\} \; , \; \{1, 2, 3, 4\}
    \end{array}\right\}\)
Tomando un elemento cualquiera, B, su clase vendrá determinada de la siguiente forma:
    \( B R X \; \leftrightarrow \; B \cup S = X \cup S \)
Tenemos así las siguientes clases:
    \( C_\emptyset = \{\emptyset \; , \; \{1\} \; , \; \{4\} \; , \; \{1, 4\} \}\)

    \( C_{\{2\}} = \{ \{2\} \; , \; \{1, 2\} \; , \; \{2, 4\} \; , \; \{1, 2, 4\} \}\)

    \( C_{\{3\}} = \{ \{3\} \; , \; \{1, 3\} \; , \; \{3, 4\} \; , \; \{1, 3, 4\} \}\)

    \( C_{\{2, 3\}} = \{ \{2, 3\} \; , \; \{1, 2, 3\} \; , \; \{2, 3, 4\} \; , \; \{1, 2, 3, 4\} \}\)
Y el conjunto cociente será de la forma:
    \( P(A)/R = \{\emptyset \; , \; \{2\} \; , \; \{3\} \; , \; \{2, 3\} \}\)
Para la relación R’ las clases de equivalencia son:
    \( C_\emptyset = \{\emptyset \; , \; \{2\} \; , \; \{3\} \; , \; \{2, 3\} \}\)

    \( C_{\{1\}} = \{ \{1\} \; , \; \{1, 2\} \; , \; \{1, 3\} \; , \; \{1, 2, 3\} \}\)

    \( C_{\{4\}} = \{ \{4\} \; , \; \{2, 4\} \; , \; \{3, 4\} \; , \; \{2, 3, 4\} \}\)

    \( C_{\{1, 4\}} = \{ \{1, 4\} \; , \; \{1, 2, 4\} \; , \; \{1, 3, 4\} \; , \; \{1, 2, 3, 4\} \}\)
Y el conjunto cociente será de la forma:
    \( P(A)/R' = \{\emptyset \; , \; \{1\} \; , \; \{4\} \; , \; \{1, 4\} \}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás