Ejercicios de álgebra - Respuesta 28

Para la primera relación tenemos:

Propiedad reflexiva:

\( \forall X \in P(A) \; , \; X \cup S =X \cup S \; \leftrightarrow \; X R X \)

Propiedad simétrica:

sI \( X R Y \; \rightarrow \; X \cup S = Y \cup S \; \rightarrow \; Y \cup S = X \cup S \; \rightarrow \; Y R X\)

Propiedad transitiva:

Si \( \left.\begin{array}{c}
X R Y \leftrightarrow X \cup S = Y \cup S \\
\\
Y R Z \leftrightarrow Y \cup S = Z \cup S
\end{array}\right\} \rightarrow X \cup S = Y \cup S = Z \cup S \rightarrow X \cup S = Z \cup S \rightarrow X R Z \)

Para ver si R’ es de equivalencia se opera de modo análogo.

Vamos a determinar, entonces, las clases que determina cada relación. El conjunto P(A) es:

\( P(A) = \left\{\begin{array}{c}
\emptyset \; , \; \{1\} \; , \; \{2\} \; , \; \{3\} \; , \; \{4\} \; , \; \{1,2\} \; , \; \{1,3\} \; , \; \{1, 4\} \; , \; \{2,3\} \; , \; \{2, 4\}\\
\\
\{3, 4\} \; , \; \{1, 2, 3\} \; , \; \{1, 2, 4\} \; , \; \{1, 3, 4\} \; , \; \{2, 3, 4\} \; , \; \{1, 2, 3, 4\}
\end{array}\right\}\)

Tomando un elemento cualquiera, B, su clase vendrá determinada de la siguiente forma:

\( B R X \; \leftrightarrow \; B \cup S = X \cup S \)

Tenemos así las siguientes clases:

\( C_\emptyset = \{\emptyset \; , \; \{1\} \; , \; \{4\} \; , \; \{1, 4\} \}\)

\( C_{\{2\}} = \{ \{2\} \; , \; \{1, 2\} \; , \; \{2, 4\} \; , \; \{1, 2, 4\} \}\)

\( C_{\{3\}} = \{ \{3\} \; , \; \{1, 3\} \; , \; \{3, 4\} \; , \; \{1, 3, 4\} \}\)

\( C_{\{2, 3\}} = \{ \{2, 3\} \; , \; \{1, 2, 3\} \; , \; \{2, 3, 4\} \; , \; \{1, 2, 3, 4\} \}\)

Y el conjunto cociente será de la forma:

\( P(A)/R = \{\emptyset \; , \; \{2\} \; , \; \{3\} \; , \; \{2, 3\} \}\)

Para la relación R’ las clases de equivalencia son:

\( C_\emptyset = \{\emptyset \; , \; \{2\} \; , \; \{3\} \; , \; \{2, 3\} \}\)

\( C_{\{1\}} = \{ \{1\} \; , \; \{1, 2\} \; , \; \{1, 3\} \; , \; \{1, 2, 3\} \}\)

\( C_{\{4\}} = \{ \{4\} \; , \; \{2, 4\} \; , \; \{3, 4\} \; , \; \{2, 3, 4\} \}\)

\( C_{\{1, 4\}} = \{ \{1, 4\} \; , \; \{1, 2, 4\} \; , \; \{1, 3, 4\} \; , \; \{1, 2, 3, 4\} \}\)

Y el conjunto cociente será de la forma:

\( P(A)/R' = \{\emptyset \; , \; \{1\} \; , \; \{4\} \; , \; \{1, 4\} \}\)