PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 27

Tenemos:

Propiedad reflexiva:
    \( \forall a \in Z \; a^2 - a^2 = a-a=0 \; \leftrightarrow \; aRa \)
Propiedad simétrica:
    \( a^2 - b^2 = a-b \; \rightarrow \; -b^2 + a^2 = -b+a \; \rightarrow \; b^2 - a^2 = b-a \; \leftrightarrow \; bRa\)
Propiedad transitiva:
    Si \( \left\{\begin{array}{c}
    aRb \; \leftrightarrow \; a^2 - b^2 = a-b \\
    \\
    bRc \; \leftrightarrow \; b^2 - c^2 = b-c
    \end{array}\right\} \; \rightarrow \; \) (sumando m.a.m.) \(a^2 - c^2= a-c\; \leftrightarrow \; aRc\)
Resulta que si tenemos una relación de equivalencia. Buscamos las clases.

Para un elemento cualquiera “a”, esta relación será:
    \( aRx \; \leftrightarrow \; a^2 - x^2 = a-x\)
Haciendo operaciones se tiene:
    \( (a+x)(a-x) = a-x \; \rightarrow \; (a+x)=1 \; \rightarrow \; x = 1-a\)
Con lo que resulta que cada clase será de la forma:
    \( C_a = \{a \; , \; 1-a\} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás