Ejercicios de álgebra
Ver si la relación binaria definida en Z:
\(a R b \quad \leftrightarrow \quad a^2-b^2 = a-b \)
Es relación de equivalencia y, en caso positivo, encontrar
las clases.
Respuesta al ejercicio 27
Tenemos:
Propiedad reflexiva:
\( \forall a \in Z \; a^2 - a^2 = a-a=0 \; \leftrightarrow \;
aRa \)
Propiedad simétrica:
\( a^2 - b^2 = a-b \; \rightarrow \; -b^2 + a^2 = -b+a \; \rightarrow
\; b^2 - a^2 = b-a \; \leftrightarrow \; bRa\)
Propiedad transitiva:
Si \( \left\{\begin{array}{c}
aRb \; \leftrightarrow \; a^2 - b^2 = a-b \\
\\
bRc \; \leftrightarrow \; b^2 - c^2 = b-c
\end{array}\right\} \; \rightarrow \; \) (sumando m.a.m.) \(a^2
- c^2= a-c\; \leftrightarrow \; aRc\)
Resulta que si tenemos una relación de equivalencia. Buscamos
las clases.
Para un elemento cualquiera “a”, esta relación
será:
\( aRx \; \leftrightarrow \; a^2 - x^2 = a-x\)
Haciendo operaciones se tiene:
\( (a+x)(a-x) = a-x \; \rightarrow \; (a+x)=1 \; \rightarrow
\; x = 1-a\)
Con lo que resulta que cada clase será de la forma:
\( C_a = \{a \; , \; 1-a\} \)