Ejercicios de álgebra

Ver si la relación binaria definida en Z:

\(a R b \quad \leftrightarrow \quad a^2-b^2 = a-b \)

Es relación de equivalencia y, en caso positivo, encontrar las clases.

Respuesta al ejercicio 27

Tenemos:

Propiedad reflexiva:

\( \forall a \in Z \; a^2 - a^2 = a-a=0 \; \leftrightarrow \; aRa \)

Propiedad simétrica:

\( a^2 - b^2 = a-b \; \rightarrow \; -b^2 + a^2 = -b+a \; \rightarrow \; b^2 - a^2 = b-a \; \leftrightarrow \; bRa\)

Propiedad transitiva:

Si \( \left\{\begin{array}{c}
aRb \; \leftrightarrow \; a^2 - b^2 = a-b \\
\\
bRc \; \leftrightarrow \; b^2 - c^2 = b-c
\end{array}\right\} \; \rightarrow \; \) (sumando m.a.m.) \(a^2 - c^2= a-c\; \leftrightarrow \; aRc\)

Resulta que si tenemos una relación de equivalencia. Buscamos las clases.

Para un elemento cualquiera “a”, esta relación será:

\( aRx \; \leftrightarrow \; a^2 - x^2 = a-x\)

Haciendo operaciones se tiene:

\( (a+x)(a-x) = a-x \; \rightarrow \; (a+x)=1 \; \rightarrow \; x = 1-a\)

Con lo que resulta que cada clase será de la forma:

\( C_a = \{a \; , \; 1-a\} \)