Ejercicios de álgebra - Respuesta 26

Las propiedades que cumple esta relación son:

Propiedad reflexiva:

\( \forall a \in Z \; a-a = 0 \; ; \; 0 = \dot{3}\; \leftrightarrow \; aRa \)

Propiedad simétrica:

\(aRb \; \rightarrow \; a-b = \dot{3} \; \rightarrow \; b-a = \dot{3} \; \rightarrow \; bRa\)

Propiedad transitiva:

Si \( \left\{\begin{array}{c}
a-b=\dot{3} \\
\\
b-c=\dot{3}
\end{array}\right\} \; \rightarrow \; \) (sumando miembro a miembro) \(a-c=\dot{3}\; \rightarrow \; aRc\)

Vemos entonces que la relación dada si es de equivalencia por cumplir las propiedades necesarias para ello. Las clases de equivalencia son:

\( C_0 = \{0, 3, 6, 9,\ldots\}\; ; \; C_1 = \{1, 4, 7, 10,\ldots\}\; ; \; C_2 = \{2, 5, 8, 11,\ldots\}\)

Todos los demás elementos de Z pertenecen a alguna de las clases anteriores, por lo que el conjunto cociente será:

\( Z/R = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}\}\)