Ejercicios de álgebra

Sea E = {e, a, b, c} y definimos en dicho conjunto una ley de composición interna, representada por (•), para la que “e” es el elemento neutro y, además, la ley viene definida por las siguientes igualdades:

\( a^2 = b^2 = c^2 = e \; ; \; bc = cb = a \; ; \; ca = ac = b \; ; \; ab = ba = c\)

Demostrar que esta ley es asociativa, conmutativa y que todo elemento es inversible.

Respuesta al ejercicio 25

Con los datos dados formamos la tabla:



La ley es conmutativa por ser la tabla simétrica respecto a la diagonal principal.
Cada elemento posee su simétrico:

\(e \; \leftrightarrow \; e \; ; \; a \; \leftrightarrow \; a \; ; \; b \; \leftrightarrow \; b \; ; \; c \; \leftrightarrow \; c\)

Para ver si la ley es asociativa, debemos desarrollar todos los términos y comprobar que no existe ningún contraejemplo. Vg:

\( a·(b·c) = a·(a) = a^2 = e \quad \; \quad (a·b)·c = (c)·c = c^2 = e \)

Es fácil comprobar que no existen contraejemplos, por lo que podemos concluir que la ley es asociativa.