Ejercicios de álgebra - Respuesta 24

f_m inyectiva:

\( f_m(x) = f_m(y)\quad \Rightarrow \quad m·x = m·y\)

Pero al ser m simetrizable:

\( m^{-1} \in E \quad \Rightarrow \quad m^{-1}(m·y)\)

Y al ser f asociativa:

\( (m^{-1}·m)x = (m^{-1}·m)y \quad \Rightarrow \quad x = y\)

f_m sobreyectiva:

\( \forall y \in E \; \exists \; x \in E \; | \; f_m(x) = y \)

Si existe y, entonces:

\( y = m·x \quad \Rightarrow \quad m^{-1}y = m^{-1}m·x = x \quad \Rightarrow \quad \exists \; x \; | f_m(x) = y\)

Para que f_m y g_m sean inyectivas se ha de cumplir:

\( f_m(x) = f_m(y)\quad \Rightarrow \quad x = y\)

Según lo ya visto tenemos:

\( f_m(x) = f_m(y)\quad \Rightarrow \quad m·x = m·y\)

Y al ser m regular:

\( x = y \quad \Rightarrow \quad f_m \;\) Inyectiva

Para el tercer apartado se ha de cumplir:

\( m \in E \; \Rightarrow \; \left\{ \begin{array}{c}
\exists e \in E \; | \; f_m(e) = m \; ; \; \exists e \in E \; | \; m·e = m \\
\\
\exists e' \in E \; | \; f_m(e') = m \; ; \; \exists e' \in E \; | \; e'·m = m
\end{array}
\right.\)

Sea x perteneciente a E; si f_m y g_m son sobreyectivas, se ha de cumplir:

\(x = m·x' \; \Rightarrow \; e'·x = e'·m·x' = m·x' = x \; \) neutro a izquierda

\( x = x"·m \; \Rightarrow \; x·e = x"·m·e = x"·m = x\) neutro a la derecha

Este neutro es único pues se tiene:

e'•e (operando por la izquierda) = e = (operando por la derecha) = e'