PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 24

fm inyectiva:
    \( f_m(x) = f_m(y)\quad \Rightarrow \quad m·x = m·y\)
Pero al ser m simetrizable:
    \( m^{-1} \in E \quad \Rightarrow \quad m^{-1}(m·y)\)
Y al ser f asociativa:
    \( (m^{-1}·m)x = (m^{-1}·m)y \quad \Rightarrow \quad x = y\)
fm sobreyectiva:
    \( \forall y \in E \; \exists \; x \in E \; | \; f_m(x) = y \)
Si existe y, entonces:
    \( y = m·x \quad \Rightarrow \quad m^{-1}y = m^{-1}m·x = x \; \Rightarrow \; \exists \; x \; | f_m(x) = y\)
Para que fm y gm sean inyectivas se ha de cumplir:
    \( f_m(x) = f_m(y)\quad \Rightarrow \quad x = y\)
Según lo ya visto tenemos:
    \( f_m(x) = f_m(y)\quad \Rightarrow \quad mx = my\)
Y al ser m regular:
    \( x = y \quad \Rightarrow \quad f_m \;\) Inyectiva
Para el tercer apartado se ha de cumplir:
    \( m \in E \; \Rightarrow \; \left\{ \begin{array}{c}
    \exists e \in E \; | \; f_m(e) = m \; ; \; \exists e \in E \; | \; m·e = m \\
    \\
    \exists e' \in E \; | \; f_m(e') = m \; ; \; \exists e' \in E \; | \; e'·m = m
    \end{array}
    \right.\)
Sea x perteneciente a E; si fm y gm son sobreyectivas, se ha de cumplir:
    \(x = mx' \; \Rightarrow \; e'x = e'mx' = mx' = x \; \) neutro a izquierda

    \( x = x"m \; \Rightarrow \; xe = x"me = x"m = x\) neutro a la derecha
Este neutro es único pues se tiene:
    e'•e (operando por la izquierda) = e = (operando por la derecha) = e'
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tema escrito por: Jos Antonio Hervs