Ejercicios de álgebra - Respuesta 23

Consideremos la aplicación:

\( \begin{array}{c} f : E \; \rightarrow \; E \\ \\ \quad f(b) \; \rightarrow \; ab \end{array} \)

La aplicación así definida es biyectiva, pues se tiene:

f inyectiva : \( \textstyle f(b) = f(b') \; \Rightarrow \; ab = ab' \; \Rightarrow \; b = b' \) por ser \(a\) regular

\( \textstyle Card (Img \; f)= Card(E) \overset{\quad I m \; f \subset E \quad }{---\rightarrow } = Im f \) , por ser E finito.

Elementos simetrizables.

Como \( e \in E \; , \; \exists \; a' \in E \; | \; f(a') = e\) y esto equivale a decir que \( \exists \; a' \in E \; | \; a·a' = e \) ; por lo tanto a’ es simétrico de a por la derecha.

Definimos ahora una aplicación f’ que cumpla:

\( \begin{array}{c} f ': E \; \rightarrow \; E \\ \\ \quad f'(b) \; \rightarrow \; ba \end{array} \)

Esta aplicación tiene las mismas propiedades que la anterior y nos permite hacer:

Como \( e \in E, \; \exists a^{\prime\prime} \in E \; | \; f(a^{\prime\prime}) = e \) y esto equivale a decir que \( \exists \; a^{\prime\prime} \in E \; | \; a^{\prime\prime}·a = e \), por lo tanto \(a^{\prime\prime} \) es simétrico de a por la izquierda. Comprobamos que ambos simétricos coinciden:

\( a^{\prime\prime}·a·a' = e·a' = a^{\prime\prime}·e \quad \Rightarrow \quad a^{\prime\prime} = a' \)

Contraejemplo. En Z, el “0” no es regular, pero tampoco es el elemento neutro.