Ejercicios de álgebra - Respuesta 22

Seguimos los siguientes pasos:

Primero, h es inyectiva:

\( (g\circ f)(x) \neq (g\circ f)(y) \; \Rightarrow \; g \big (f(x) \big)\neq g \big( f(y) \big)\)

A partir de ahí se debe cumplir:

\( f(x) \neq f(y) \)

Y consecuentemente:

\( Si \quad f(x) \neq f(y) \; \Rightarrow \; x \neq y \)

Puesto que al ser f aplicación, x e y sólo tienen una imagen. Por todo lo anterior, f es inyectiva.

Segundo, h es sobreyectiva:

\( \forall z \in C \; \exists \; x \in A \; | \; h(x) = z\)

Y tenemos:

\( h(x) = (g\circ f)(x) = g \big (f(x) \big) \)

Pero si existe x debe existir f(x), pues todo x en A tiene imagen en B, por ser f una aplicación. Por todo lo anterior, g es sobreyectiva.