PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 22

Seguimos los siguientes pasos:

Primero, h es inyectiva:
    \( (g\circ f)(x) \neq (g\circ f)(y) \; \Rightarrow \; g \big (f(x) \big)\neq g \big( f(y) \big)\)
A partir de ahí se debe cumplir:
    \( f(x) \neq f(y) \)
Y consecuentemente:
    \( Si \quad f(x) \neq f(y) \; \Rightarrow \; x \neq y \)
Puesto que al ser f aplicación, x e y sólo tienen una imagen. Por todo lo anterior, f es inyectiva.

Segundo, h es sobreyectiva:
    \( \forall z \in C \; \exists \; x \in A \; | \; h(x) = z\)
Y tenemos:
    \( h(x) = (g\circ f)(x) = g \big (f(x) \big) \)
Pero si existe x debe existir f(x), pues todo x en A tiene imagen en B, por ser f una aplicación. Por todo lo anterior, g es sobreyectiva.
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tema escrito por: José Antonio Hervás