PROBLEMAS RESUELTOS
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Ejercicios de álgebra

Sea una aplicación f de un conjunto A en un conjunto B. Demostrar que:
    \( \forall X \subset A \quad X' = f^{-1}\big(f(x)\big) = X\)
Implica que f es inyectiva
Y que:
    \(\forall \, Y \subset B \quad Y\,' = f\big(f^{-1}(x)\big) = Y\)
Implica que f es sobreyectiva.

Respuesta al ejercicio 20

La primera condición implica que f es inyectiva pues se tiene:
    \( a \neq b \; \Rightarrow \; f^{-1}\big(f(a)\big)\neq f^{-1}\big(f(b)\big) \; \Rightarrow \; f(a) \neq f(b) \)
Para la segunda condición tenemos:
    \(\forall b \in B \quad \exists a \in A \; | \; f(a) = b\)
Sea Y = {b} entonces:
    \( b = f\big(f^{-1}(b)\big) \; ; \; f^{-1}(b) \neq 0 \; ; \; f^{-1}(b) \subset A \; ; \; x \in f^{-1}(b) \; \Rightarrow \; \exists f(x) = b\)
Y por lo tanto, f es sobreyectiva.
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tema escrito por: José Antonio Hervás