Ejercicios de álgebra - Respuesta 17

La aplicación compuesta g•f será:

\( (g·f)(x, y) = g[f(x,y)] = g(x-y) = (x-y, y-x)\)

La aplicación compuesta f•g será:

\( (f·g)(x,y) = f[g(x)] = f(x, -x) = x - (-x) = 2x\)

Veamos ahora si las anteriores aplicaciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. Para que una aplicación sea inyectiva, se ha de cumplir:

\( x_1 \neq x_2 \quad \Leftrightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \quad \Leftrightarrow \quad f(x_1) = f(x_2) \quad \Leftrightarrow \quad x_1 = x_2\)

Tenemos entonces:

\( f(x, y) = f(x', y')\quad \Leftrightarrow \quad x-y = x'-y' \; \not\Rightarrow \; \left\{ \begin{array}{c}
x=x' \\
\\
y=y'
\end{array}\right\} \; \Rightarrow \; f\) no es inyectiva

\( g(x) = g(y) \quad \Leftrightarrow \quad (x, -x) = (y, -y) \; \Rightarrow \; x = y \; \Rightarrow \; g\) si es inyectiva

\( (g·f)(x, y) = (g·f)(x', y')\; \Leftrightarrow \; (x-y, y-x) = (x'-y', y'-x') \; \Rightarrow\)


\( \Rightarrow \; x-y = x' - y' \not\Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x=x' \\
\\
y=y'
\end{array}\right\} \; \Rightarrow \; (g·f)\) no es inyectiva

Finalmente:

\( (f·g)(x) (f·g)(y) \; \Leftrightarrow \; 2x = 2y \; \Rightarrow \; x = y \; \Rightarrow \; (f·g) \) si es inyectiva

Para que una aplicación sea sobreyectiva, todo elemento del conjunto imagen debe tener antiimagen:

\(\forall x \in Z \quad \div \quad x = x_1-x_2 \; \Rightarrow \; \exists (x,y) \in Z^2 \; \div \; f(x,y) = f(x_1, x_2) = x_1-x_2 = x\)

Por lo que la aplicación f si es sobreyectiva.
Sabiendo que f es sobreyectiva pero no inyectiva, podemos decir que no es biyectiva.

Para la aplicación g se tiene:

\( (m,n) \in Z^2 \; ; \; si \; m \neq -n \not\exists \; \) antiimagen

Si no para todos los elementos existe antiimagen, g no es sobreyectiva, por lo tanto, aun siendo inyectiva no es biyectiva.

Para la aplicación f•g = h tenemos:

\( y \in Z \; ; \;Si \; y \in \{impares\} \; \Rightarrow \; \not\exists \; x \in Z \; | \; 2·x = y\)

Como no para todos los elementos existe antiimagen, h no es sobreyectiva y, en consecuncia, tampoco es biyectiva.

Por último, para la aplicación g•f nos queda:

\( (m, n) \in Z^2 \; \Rightarrow \; \left\{ \begin{array}{c}
(m-n) \in Z \\
\\
(n-m) \in Z
\end{array}\right\} \; \exists \; (x, y) \; | \; \left\{ \begin{array}{c}
x = (m-n) \in Z \\
\\
y = (n-m) \in Z
\end{array}\right\} \)

Y la aplicación g•f si es sobreyectiva pero como no es inyectiva tampoco es biyectiva.