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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Se considera el conjunto de las funciones F definidas sobre el intervalo [a, b] y con valores en K. Demostrar que la relación definida de tal modo que f está relacionada con g si y solo si el cociente entre f(x) y g(x) tiende a 1 cuando x tiende a x0, siendo x0 un punto perteneciente al intervalo cerrado [a, b], es una relación de orden.

Respuesta al ejercicio 15
Las propiedades que cumple la relación definida son:

Primera.- Reflexiva:
    \( \displaystyle \forall f \in F : f R f \; ; \; \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{f(x)} = \lim 1 = 1\)
Segunda.- Simétrica:
    \( Si \; \displaystyle f R g \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)
Y por otro lado:
    \( \displaystyle \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{g(x)}{f(x)} = \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{1}{f(x)/g(x)} = \frac{\lim 1}{\displaystyle \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{1}{1} = 1 \; \Leftrightarrow \; g R f\)
Tercera.- Transitiva:
    \( Si \; f R g \; \Leftrightarrow \; \displaystyle \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \; ; \; Si \; g R h \; \Leftrightarrow \; \displaystyle \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{g(x)}{h(x)} = 1\)
Multiplicando ambas expresiones:
    \( \displaystyle \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{g(x)} \times \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{g(x)}{h(x)} = \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{g(x)} \times \frac{g(x)}{h(x)} = \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{h(x)} = 1 \quad \Leftrightarrow \quad f R h\)
Y queda demostrado lo que nos proponíamos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás