Ejercicios de álgebra - Respuesta 15

Las propiedades que cumple la relación definida son:

Primera.- Reflexiva:

\( \displaystyle \forall f \in F : f R f \; ; \; \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{f(x)} = \lim 1 = 1\)

Segunda.- Simétrica:

\( Si \; \displaystyle f R g \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)

Y por otro lado:

\( \displaystyle \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{g(x)}{f(x)} = \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{1}{f(x)/g(x)} = \frac{\lim 1}{\displaystyle \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{1}{1} = 1 \; \Leftrightarrow \; g R f\)

Tercera.- Transitiva:

\( Si \; f R g \quad \Leftrightarrow \quad \displaystyle \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \quad ; \quad Si \; g R h \quad \Leftrightarrow \quad \displaystyle \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{g(x)}{h(x)} = 1\)

Multiplicando ambas expresiones:

\( \displaystyle \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{g(x)} \times \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{g(x)}{h(x)} = \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{g(x)} \times \frac{g(x)}{h(x)} = \lim _{x \to {x_0}} \; \frac{f(x)}{h(x)} = 1 \quad \Leftrightarrow \quad f R h\)

Y queda demostrado lo que nos proponíamos.