Ejercicios de álgebra - Respuesta 14

Las propiedades que ha de cumplir la relación dada son.

Primera.- Reflexiva:

(p, q) R (p, q) , puesto que p.q = q.p , para todo par (p, q) de ZxZ*

Segunda.- Simétrica

(p, q) R (p’, q’) ⇔ p.q’ = q.p’ ⇔ q.p’ = p.q’ ⇔ p’.q = q’.p ⇔ (p’, q’) R (p, q)

Tercera.- Transitiva:

(p, q) R (p’, q’) ⇔ p.q’ = q.p’ ; (p’, q’) R (p”, q”) ⇔ p’.q” = q’.p”

Y multiplicando miembro a miembro las dos equivalencias:

p.q’.p’.q” = q.p’.q’.p”

como se tiene que q’ pertenece a Z*, podemos simplificar y queda

p.p’.q” = q.p’.p”

esta igualdad se cumple para cualesquiera que sean p, q, p” y q” , cuando p’ vale cero, pero también se cumple si p’ es distinto de cero, puesto que entonces podemos simplificar. De ese modo:

p.q” = q.p” → (p, q) R (p”, q”)

El conjunto cociente será, por tanto:

\( \displaystyle \frac{Z \times Z^*}{R} = \{(x, y) \; | \; (x, y) R (a, b) \} = \{(x, y) \; | \; x·b = y·a \}\)

Y de la última igualdad tenemos:

\(\displaystyle \frac{Z \times Z^*}{R} = \{(x, y) \; | \; x·b = y·a \} \quad \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{a}{b} \equiv Q \)

Y el conjunto cociente es el conjunto Q de los números racionales.