Ejercicios de álgebra - Respuesta 13

Comprobamos si se cumplen las propiedades requeridas para que la relación dada en el enunciado sea de equivalencia.

Primera.- Reflexiva:

(a, b) R (a, b) , puesto que para todo (a, b) se tiene a + b = b + a

Segunda.- Simétrica

(a, b) R (c, d) ⇔ a + d = b + c → c + b = a + d ⇔ (c, d) R (b, a)

Y por la propiedad reflexiva, ya demostrada:

\( (c,d) R (b, a) \quad \Leftrightarrow \quad (c,d) R (a, b) \)

Tercera.- Transitiva:

\( (a,b) R (c,d) \; \Leftrightarrow \; a+d = b+c \; ; \; (c,d) R (e,f) \; \Leftrightarrow \; c+f = d+e \)

Sumando y simplificando:

\( a+f = b+e \quad \Leftrightarrow \quad (a,b) R (e, f) \)

Tenemos entonces que la relación estudiada sí es de equivalencia. El conjunto cociente será de la forma:

\(\displaystyle \frac{N \times N}{R} = \{(x, y) \in N \times N : (x, y) \in [(a, b)] \; \Leftrightarrow \; a+b = y+a \}\)

De donde podemos poner:

\( x+b = y+a \quad \Rightarrow \quad y = x + (b-a) \)

Por lo tanto, los puntos que están relacionados con (a, b) estará sobre una recta paralela a la bisectriz del primer cuadrante y que tiene de coordenada en el origen (b – a). Cada clase de equivalencia será, por tanto, una paralela a la recta y = x, con lo que el conjunto cociente estará formado por todas las rectas paralelas a la que tiene por ecuación y = x.