PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Dado un conjunto finito, hallar el número total de subconjuntos que contiene, considerando tanto los propios como los impropios.

Respuesta al ejercicio 12
Siendo un conjunto A de n elementos:
A = {a1, a2, …, an}
Podemos poner:
Subconjuntos de cero elementos = combinaciones de n elementos tomados de cero en cero:
    \( C _n^0 = \displaystyle{n \choose 0} = 1\)
Subconjuntos de n elementos = combinaciones de n elementos tomados de n en n:
    \( C _n^n = \displaystyle{n \choose n} = 1\)
Subconjuntos de h elementos = combinaciones de n elementos tomados de h en h:
    \( C _n^h = \displaystyle{n \choose h} \)
Podemos deducir así el cardinal del conjunto de las partes del conjunto A:
    \( Card [P(A)] = \displaystyle {n \choose 0} + {n \choose 1} + ˇˇˇ + {n \choose h} + ˇˇˇ + {n \choose {n-1}} + {n \choose n}\)
Expresión que podemos escribir en la forma:
    \( Card [P(A)] = \displaystyle {n \choose 0} 1^n 1^0 + {n \choose 1} 1^{n-1} 1^1+ ˇˇˇ + {n \choose h}1^{n-h} 1^h + ˇˇˇ +\)
    \( \displaystyle + {n \choose {n-1}} 1^1 1^{n-1}+ {n \choose n} 1^0 1^n = (1+1)^n = 2^n\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás