PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Sea A el conjunto de los números pares y sea B el conjunto formado por todos los elementos que resultan de la suma de dos números impares. Demuéstrese que ambos conjuntos son iguales.

Respuesta al ejercicio 11
Cada uno de los dos conjuntos, definido por comprensión, queda:
    \( A = \{2n \; | \; n \in N \} \; ; \; B = \{(2n-1)+(2m-1)\; | \; n, m \in N \}\)
Para que ambos conjuntos sean iguales se debe cumplir:
    \( A = B \; \Leftrightarrow \; (A\subset B) \wedge (B\subset A) \)
Y podemos hacer:
    \( x \in A \; \Rightarrow \; x = 2n \; ; \; 2n = (2n-1)+1 \; \Rightarrow \; x \in B \; \Rightarrow \; A \subset B \)
    \( y \in B \; \Rightarrow \; y = (2n-1)+(2m+1) = 2n+2m-2 \; \Rightarrow \; \)

    \( y = 2(n+m-1) \; \Rightarrow \; y \in A \; \Rightarrow \; B \subset A\)
De donde se deduce inmediatamente que A = B, como queríamos demostrar.
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tema escrito por: José Antonio Hervás