Ejercicios de álgebra - Respuesta 11

Cada uno de los dos conjuntos, definido por comprensión, queda:

\( A = \{2·n \; | \; n \in N \} \quad ; \quad B = \{(2n-1)+(2m-1)\; | \; n, m \in N \}\)

Para que ambos conjuntos sean iguales se debe cumplir:

\( A = B \; \Leftrightarrow \; (A\subset B) \wedge (B\subset A) \)

Y podemos hacer:

\( x \in A \; \Rightarrow \; x = 2n \; ; \; 2n = (2n-1)+1 \; \Rightarrow \; x \in B \; \Rightarrow \; A \subset B \)

\( y \in B \; \Rightarrow \; y = (2n-1)+(2m+1) = 2n+2m-2 \; \Rightarrow \; \)

\( y = 2(n+m-1) \; \Rightarrow \; y \in A \; \Rightarrow \; B \subset A\)

De donde se deduce inmediatamente que A = B, como queríamos demostrar.