PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 10
Dado un conjunto U ⊂ E, una partición \( \mathcal{P}\) de U es un recubrimiento que cumple las siguientes propiedades :

    \( \begin{array}{l} 1º) \; \forall F \in \mathcal{F} \; \rightarrow \; F \neq \emptyset \quad ; \quad 2º)\forall F_i, F_j \in \mathcal{F} \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; F_i \cap F_j = \emptyset \quad ; \quad U = \bigcup \limits _{F \in \mathcal{F} } F \end{array}\)
Vemos entonces que para que se cumpla la primera condición se debe tener :
    \( A \not\subset B \; ; \; B \not\subset A \; ; \; A \cap B \neq \emptyset \; ; \; A \cup B \neq U\)
Siendo así, es evidente que la primara propiedad se cumple en todos los casos, pues se tiene :
    \( A \cap B \neq \emptyset \), por hipótesis (2ª propiedad exigida)
Puesto que
    \( A \not\subset B \; \Rightarrow \; \exists x \in A \; | \; x \not\in B \; \Rightarrow \; x \in B' \; \Rightarrow \; A \cap B' \neq \emptyset\)
Puesto que
    \( B \not\subset A \; \Rightarrow \; \exists x \in B \; | \; x \not\in A \; \Rightarrow \; x \in A' \; \Rightarrow \; A' \cap B \neq \emptyset\)
Por las leyes de Morgan se tiene

    \( \begin{array}{l} A' \cap B' = (A \cup B)' \textrm{ y puesto que es } A \cup B \neq U \; \Rightarrow \; \\  \\ \Rightarrow (A \cup B)' = A' \cap B' \neq \emptyset \end{array} \)
Comprobamos ahora que se cumple la segunda condición. Comparando dos a dos los conjuntos de partida tenemos :
    \(\begin{array}{l} (A \cap B) \cap (A' \cap B) = (A \cap A') \cap (B \cap B) = \\  \\ = (A \cap A') \cap B = \emptyset \cap B = \emptyset \end{array}\)
Donde hemos aplicado sucesivamente las propiedades asociativa, conmutativa, del complementario y la definición de intersección de conjuntos. Para los otros casos se demuestra de igual forma.
Por último, comprobamos la tercera condición.
    \( \begin{array}{l} (A \cap B) \cup (A \cap B') \cup (A' \cap B) \cup (A' \cap B') = \\  \\ [A \cap (B \cup B')] \cup [A' \cap (B \cup B')] = \\  \\ = (A \cap U) \cup (A' \cap U) = A \cup A' = U \end{array}\)
donde hemos aplicado la propiedad asociativa y distributiva.

Por todo lo visto, hemos comprobado que el conjunto U es una partición de los conjuntos estudiados.
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tema escrito por: José Antonio Hervás