Ejercicios de álgebra - Respuesta 10

Dado un conjunto U ⊂ E, una partición \( \mathcal{P}\) de U es un recubrimiento que cumple las siguientes propiedades :

\( 1º) \; \forall F \in \mathcal{F} \; \rightarrow \; F \neq \emptyset \quad ; \quad 2º)\forall F_i, F_j \in \mathcal{F} \; \rightarrow \; F_i \cap F_j = \emptyset \quad ; \quad U = \bigcup \limits _{F \in \mathcal{F} } F\)

Vemos entonces que para que se cumpla la primera condición se debe tener :

\( A \not\subset B \; ; \; B \not\subset A \; ; \; A \cap B \neq \emptyset \; ; \; A \cup B \neq U\)

Siendo así, es evidente que la primara propiedad se cumple en todos los casos, pues se tiene :

\( A \cap B \neq \emptyset \), por hipótesis (2ª propiedad exigida)

Puesto que

\( A \not\subset B \; \Rightarrow \; \exists x \in A \; | \; x \not\in B \; \Rightarrow \; x \in B' \; \Rightarrow \; A \cap B' \neq \emptyset\)

Puesto que

\( B \not\subset A \; \Rightarrow \; \exists x \in B \; | \; x \not\in A \; \Rightarrow \; x \in A' \; \Rightarrow \; A' \cap B \neq \emptyset\)

Por las leyes de Morgan se tiene

\( A' \cap B' = (A \cup B)'\) y puesto que es \(A \cup B \neq U \; \Rightarrow \; (A \cup B)' = A' \cap B' \neq \emptyset \) .

Comprobamos ahora que se cumple la segunda condición. Comparando dos a dos los conjuntos de partida tenemos :

\((A \cap B) \cap (A' \cap B) = (A \cap A') \cap (B \cap B) = (A \cap A') \cap B = \emptyset \cap B = \emptyset\)

Donde hemos aplicado sucesivamente las propiedades asociativa, conmutativa, del complementario y la definición de intersección de conjuntos. Para los otros casos se demuestra de igual forma.
Por último, comprobamos la tercera condición.

\( (A \cap B) \cup (A \cap B') \cup (A' \cap B) \cup (A' \cap B') = [A \cap (B \cup B')] \cup [A' \cap (B \cup B')] = \)

\( = (A \cap U) \cup (A' \cap U) = A \cup A' = U\)

donde hemos aplicado la propiedad asociativa y distributiva.

Por todo lo visto, hemos comprobado que el conjunto U es una partición de los conjuntos estudiados.