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Ejercicios de álgebra

Sean los conjuntos A y B y definida en ellos una correspondencia tal que a cada elemento x de A la correspondencia le asocia el elemento y de B tal que y = x² Decir en cual de los siguientes casos la ley es aplicación y clasificarla.

1º) A = N , B = N ; 2º) A = Z* , B = N ; 3º) A = N , B = {y en N / y = cuadrado perfecto} ;

4º) A = Z , B = N ; 5º) A = R+ , B = R+ ; 6º) A = R , B = R+ ; 7º) A = R , B = R- ;

8º) A = R- , B = R+.

Respuesta al ejercicio 9
1º) Sí es aplicación .-
    \( \forall x \in N\; \exists f(x) \in N\)
No es sobreyectiva
    \( \forall y \in N \; | \; y = f(x)\; \exists f(x) \in N \)
Si es inyectiva \(f(x) = f(y) \Rightarrow x^2 = y^2 \Rightarrow x = y \) pues x e y pertenecen a N
2º Sí es aplicación
    \(\forall x \in Z^*\; \exists f(x) \in N\)

    No es inyectiva \( f(x) = x^2 = (-x)^2 \) pero x y –x no son iguales

    No es sobreyectiva por el mismo argumento que el primer caso.
3º Si es aplicación
    Si es inyectiva pues –x no pertenece a N

    Si es sobreyectiva por la definición de conjunto final.

    Es biyectiva.
4º No es aplicación
    \( \not\exists y \in N \; | \; y = f(0) = 0^2\)
5º Si es aplicación.
Si es inyectiva \( f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \) puesto que x e y pertenecen a R+

Si es sobreyectiva
    \( \forall x \in R^+\; \exists x \in R^+ \; | \; f(x) = y \)
Es biyectiva.
6º Si es aplicación
    No es inyectiva \( x^2 = (-x)^2 \) pero x es distinto de –x

    Si es sobreyectiva.
7º No es aplicación Si
    \(y \in R^- \quad \Rightarrow \quad \not\exists x \in R \; | \; f(x) = y\)
8º Si es aplicación.
Si es inyectiva .- Si \( x^2 = y^2 \; \rightarrow \; x = y \) ya que x e y pertenecen a R-

Si es sobreyectiva
    \( \forall y \in R^-\; \exists x \in R^- \; | \; f(x) = y\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás