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Problemas resueltos de Álgebra

 

Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 8
Aplicación f :R → R tal que f(x) = a.x + b
La aplicación f es sobreyectiva :
    \( \displaystyle \forall y \in R \; \exists x \in R \; | \; f(x) = y \; ; \; \forall y \in R \; \exists x \in R \; | \; ax+b= y \; ; \; x = \frac{y-b}{a} \in R (a \neq 0)\)
la aplicación f es inyectiva :
    \( f(x) = f(y) \; \Rightarrow \; x = y \; ; \; ax+b = ay+b \; \Rightarrow \; ax = ay (a \neq 0) x = y\)
Como f es sobreyectiva e inyectiva será biyectiva. La aplicación inversa será :
    \( \displaystyle f^{-1} : R \; \rightarrow \; R \; ; \; y = f^{-1}(x) \; ; \; x = \frac{y-b}{a} \; \Rightarrow \; f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}\)
Aplicación g :

R → R tal que g(x) = a.x² + b.x + c La aplicación g será sobreyectiva si,
    \( \displaystyle \forall y \in R \; \exists x \in R \; | \; g(x) = y \; ; \; \forall y \in R \; \exists x \in R \; | \; ax^2+bx + c = y \)
Y tenemos :
    \( \displaystyle ax^2 + bx + c - y = 0 \; ; \; x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}\)
pero x no existirá en R cuando la expresión dentro del radical sea menor que cero. Eso es lo mismo que decir que cuando:
    \( b^2 - 4a(c-y) < 0 \Leftrightarrow 4ay < 4ac - b^2 \Leftrightarrow y < c - (b^2/4a)\)
y no será imagen de ningún x de R.

La aplicación será inyectiva si cuando g(x) = g(y) tenemos x = y. Tenemos :
    \( ax^2 + bx + c = ay^2 + by + c \Rightarrow ax^2 + bx = ay^2 + by \Rightarrow ax^2 - ay^2 = by - bx \)
Operando llegamos a una expresión de la forma :
    \( ax^2 - ay^2 = by - bx \Rightarrow a(x+y)(x-y) = - b(x-y) \)
si x e y son iguales estamos realizando una división por cero y no sería válida la simplificación. Podemos decir en resumen que la aplicación no es biyectiva por no ser sobreyectiva ni inyectiva.

Aplicación h : R →R tal que h(x) = sen x

La aplicación h no será sobreyectiva pues el conjunto imagen vale [-1, +1]. La aplicación tampoco es inyectiva pues todos los elementos de la forma 4.π.x tienen la misma imagen. Para que h fuera inyectiva deberíamos tomar un intervalo tal que - π/2 < x < π/2 y restringir el conjunto final B al intervalo [-1, +1]. En ese caso la función inversa sería arcsen x .

La función j no es sobreyectiva porque el conjunto imagen contiene dos elementos {0 ; 1}. La función j no es inyectiva pues se tiene :
    \( \forall x \in Q \; | \; -1 < x < +1 \Rightarrow f(x) = 0 \; ; \; \forall x \in \textbf{C}_R Q \; | \; -1 < x < +1 \Rightarrow f(x) = 1\)
En este caso la función no es biyectiva.

La función k no es sobreyectiva porque
    \( y = \sqrt{1-x^2} \quad \Rightarrow \quad y^2 = 1-x^2 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{1-y^2}\)
y cuando y sea mayor que 1 no existirá x en el intervalo cerrado [-1, +1].

La aplicación k no será iyectiva porque :
    \( + \sqrt{1-x^2} = + \sqrt{1-y^2} \quad \Rightarrow \quad 1-x^2 = 1-y^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = y^2\)
pero se tiene :
    \( (-x)^2 = (+x)^2 \) siendo (-x) distinto de x.
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tema escrito por: José Antonio Hervás