Ejercicios de álgebra - Respuesta 7

Para probar lo que se dice en el enunciado, tenemos que demostrar las siguientes propiedades

Propiedad reflexiva, \( \forall a \in Z \; \Rightarrow \; aRa \) puesto que \( a-a = 0 = \dot{m} = 0·m \)

Propiedad simétrica , \( a R b \; \Rightarrow \; b-a = \dot{m} \; \Rightarrow \; a-b = - \dot{m} \) y entonces bRa ya que \(- \dot{m} \) pertenece a Z.

Propiedad transitiva , si aRb y bRc, entonces, respectivamente, \( b-a = \dot{m} y c-b = \dot{n} \), con lo cual \( c-a = \dot{m}·\dot{n} \) y, de ahí aRc puesto que m.n es un elemento de Z y además es múltiplo de m. El conjunto cociente será:

\(Z / R = [\bar{a}]_{a \in Z} = \{b \in Z | b R a\} = \{b \in Z | a - b = \dot{m}\}\)

Las clases del conjunto cociente son las llamadas clases de restos módulo m, representadas mediante :

\(Z / R = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, ..., \overline{m-1}\}\)