Ejercicios de álgebra - Respuesta 5

Para demostrar lo que se pide en el enunciado, tenemos que comprobar las siguientes propiedades

a) Es relación de orden :

Propiedad reflexiva

\( \forall x \in N \quad \Rightarrow \quad x/x \; ya \; que \; x = 1·x \)

Propiedad antisimétrica, si x/y e y/x entonces x = y pues tenemos

\( \left. \begin{array}{l} x·n_1 = y \\
\\ y·n_2 = x \end{array}\right\} \; \Rightarrow \; x·n_1·n_2 = x \; \Rightarrow \; n_1·n_2 = 1 \; \Rightarrow \; n_1 = n_2 = 1 \)

por ser \( n_1, n_2 \in N \quad \Rightarrow \quad x = y \)

Propiedad transitiva, si xRy e yRz entonces xRz puesto que tenemos :

\( \left. \begin{array}{l} x·n_1 = y \\
\\ y·n_2 = z \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad x·n_1·n_2 = z \quad \Rightarrow \quad n_1, n_2 \in N\)

la relación así definida es de orden parcial porque tomando dos elementos cualesquiera puede ocurrir que no estén relacionados entre si. Es el caso de los elementos primos entre si como, por ejemplo 2 y 3.

b) Según la definición de cota superior e inferior, tenemos :

Supremo el mínimo común múltiplo,

\( \forall y \in S (finito) \subset N \quad ; \quad x·n = m.c.m. \)

Infimo el máximo común divisor,

\( \forall y \in S (finito) \subset N \quad ; \quad m.c.d.\quad x·n = y \)

c) Si en el conjunto N* de los enteros naturales no nulos, definimos dos leyes de composición interna que asocian a todo par (a,b) su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo, dotamos al conjunto N* de estructura de retículo.

d) N – {1} no admite mínimo pues se tiene que no existe x perteneciente a N – {1} que cumpla x/y para todo y, ya que si tomamos, por ejemplo, el número 2, este deber ser el mínimo o estar relacionado con el, pero tenemos :

\( \displaystyle y·n = 2 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{2}{y} \; ; \; y \neq 2 \quad \Rightarrow \quad n \not\in N-\{1\}\)

Por lo tanto, el único número que podría ser el mínimo es el 2, que debería estar relacionado con todo elemento de N – {1}. Si tomamos un elemento x de la forma (2y + 3) perteneciente a N – {1} tenemos :

\( \displaystyle 2·n = 2·y + 3 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{2·y+3}{2} = y + \frac{3}{2}\)

Pero 3/2 no pertenece a N – {1} y, por lo tanto, n no pertenece a N – {1}.
Puesto que hemos encontrado un elemento x que no está relacionado con ningún elemento y, distinto de él, el conjunto no tiene mínimo.
Los elementos minimales son los números primos.
No admite maximales, pues se tiene que para todo x perteneciente a N – {1} existe y tal que x.n = y. No admite elemento máximo porque N – {1} es infinito.