En
el conjunto N de los números naturales, considérese la relación de divisibilidad
x/y en la forma : 
Propiedad reflexiva
Propiedad antisimétrica, si x/y e y/x entonces x = y pues tenemos
Propiedad transitiva, si xRy e yRz entonces xRz puesto que tenemos :
la relación así definida es de orden parcial porque tomando dos elementos cualesquiera puede ocurrir que no estén relacionados entre si. Es el caso de los elementos primos entre si como, por ejemplo 2 y 3. b) Según la definición de cota superior e inferior, tenemos :
d) N – {1} no admite mínimo pues se tiene que no existe x perteneciente a N – {1} que cumpla x/y para todo y, ya que si tomamos, por ejemplo, el número 2, este deber ser el mínimo o estar relacionado con el, pero tenemos :
Por lo tanto, el único número que podría ser el mínimo es el 2, que debería estar relacionado con todo elemento de N – {1}. Si tomamos un elemento x de la forma (2y + 3) perteneciente a N – {1} tenemos :
Pero 3/2 no pertenece a N – {1} y, por lo tanto, n no pertenece a N – {1}.
Puesto que hemos encontrado un elemento x que no está relacionado con ningún elemento y, distinto de él, el conjunto no tiene mínimo.
Los elementos minimales son los números primos.
No admite maximales, pues se tiene que para todo x perteneciente a N – {1} existe y tal que x.n = y. No admite elemento máximo porque N – {1} es infinito.
a) Ver que tipo de ordenación es
b) Ver que cualquier parte no vacía y finita de N tiene extremo superior e inferior.
c) Deducir del punto anterior si N, ordenado por la relación de divisibilidad, es un retículo.
d) Determinar en N – {1} los elementos mínimo, minimales, máximo y maximales, si los hubiera.
Respuestaa) Es relación de orden :
Propiedad reflexiva
Propiedad antisimétrica, si x/y e y/x entonces x = y pues tenemos
Propiedad transitiva, si xRy e yRz entonces xRz puesto que tenemos :
la relación así definida es de orden parcial porque tomando dos elementos cualesquiera puede ocurrir que no estén relacionados entre si. Es el caso de los elementos primos entre si como, por ejemplo 2 y 3. b) Según la definición de cota superior e inferior, tenemos :
Supremo el mínimo común múltiplo,c) Si en el conjunto N* de los enteros naturales no nulos, definimos dos leyes de composición interna que asocian a todo par (a,b) su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo, dotamos al conjunto N* de estructura de retículo.
Infimo el máximo común divisor,
d) N – {1} no admite mínimo pues se tiene que no existe x perteneciente a N – {1} que cumpla x/y para todo y, ya que si tomamos, por ejemplo, el número 2, este deber ser el mínimo o estar relacionado con el, pero tenemos :
Por lo tanto, el único número que podría ser el mínimo es el 2, que debería estar relacionado con todo elemento de N – {1}. Si tomamos un elemento x de la forma (2y + 3) perteneciente a N – {1} tenemos :
Pero 3/2 no pertenece a N – {1} y, por lo tanto, n no pertenece a N – {1}.
Puesto que hemos encontrado un elemento x que no está relacionado con ningún elemento y, distinto de él, el conjunto no tiene mínimo.
Los elementos minimales son los números primos.
No admite maximales, pues se tiene que para todo x perteneciente a N – {1} existe y tal que x.n = y. No admite elemento máximo porque N – {1} es infinito.