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PROBLEMAS y EJERCICIOS RESUELTOS de ÁLGEBRA BÁSICA
 
En el conjunto N de los números naturales, considérese la relación de divisibilidad x/y en la forma : problemas resueltos de álgebra básica
a) Ver que tipo de ordenación es
b) Ver que cualquier parte no vacía y finita de N tiene extremo superior e inferior.
c) Deducir del punto anterior si N, ordenado por la relación de divisibilidad, es un retículo.
d) Determinar en N – {1} los elementos mínimo, minimales, máximo y maximales, si los hubiera.
Respuesta 5
a) Es relación de orden :

Propiedad reflexiva problemas resueltos de álgebra básica

Propiedad antisimétrica, si x/y e y/x entonces x = y pues tenemos

problemas resueltos de álgebra básica

Propiedad transitiva, si xRy e yRz entonces xRz puesto que tenemos :

problemas resueltos de álgebra básica

la relación así definida es de orden parcial porque tomando dos elementos cualesquiera puede ocurrir que no estén relacionados entre si. Es el caso de los elementos primos entre si como, por ejemplo 2 y 3. b) Según la definición de cota superior e inferior, tenemos :
Supremo el mínimo común múltiplo, problemas resueltos de álgebra básica
Infimo el máximo común divisor, problemas resueltos de álgebra básica
c) Si en el conjunto N* de los enteros naturales no nulos, definimos dos leyes de composición interna que asocian a todo par (a,b) su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo, dotamos al conjunto N* de estructura de retículo.

d) N – {1} no admite mínimo pues se tiene que no existe x perteneciente a N – {1} que cumpla x/y para todo y, ya que si tomamos, por ejemplo, el número 2, este deber ser el mínimo o estar relacionado con el, pero tenemos :

problemas resueltos de álgebra básica

Por lo tanto, el único número que podría ser el mínimo es el 2, que debería estar relacionado con todo elemento de N – {1}. Si tomamos un elemento x de la forma (2y + 3) perteneciente a N – {1} tenemos :

problemas resueltos de álgebra básica

Pero 3/2 no pertenece a N – {1} y, por lo tanto, n no pertenece a N – {1}.
Puesto que hemos encontrado un elemento x que no está relacionado con ningún elemento y, distinto de él, el conjunto no tiene mínimo.
Los elementos minimales son los números primos.
No admite maximales, pues se tiene que para todo x perteneciente a N – {1} existe y tal que x.n = y. No admite elemento máximo porque N – {1} es infinito.
 
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