PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

En el conjunto de los números naturales, N, se define la relación :
    \( aRb \quad \Leftrightarrow \quad a + n = b, \; siendo \; n \in N \cup \{0\} \)
Probar que es de orden, orden total, buena ordenación.
Si la misma relación está definida en los enteros, probar que dota a este conjunto de estructura de orden total pero no buena ordenación.

Respuesta al ejercicio 4
Comprobamos que la relación dada en el enunciado es relación de orden.

Propiedad reflexiva,
    \( \forall a \in N \quad \Rightarrow \quad a R a \; ya \; que \; a+0 = a\)
Propiedad antisimétrica. Si aRb y bRa entonces a = b . Tenemos
    \(\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} aRb \; \Rightarrow \; a+n = b \; ; \; a-b = -n \\ \\ bRa \; \Rightarrow \; b+n = a \; ; \; b-a = -n \end{array}\right\} \; \Rightarrow \\  \\ \rightarrow \quad a-b = b-a \; \Rightarrow \; 2a = 2b \; \Rightarrow \; a = b \end{array}\)
Propiedad transitiva. Si aRb y bRc entonces aRc. Tenemos :
    \( \left. \begin{array}{l} aRb \; \Rightarrow \; a+n = b \\
    \\ bRc \; \Rightarrow \; b+n = c \end{array}\right\} \; \Rightarrow \; a+n = c-n \; \Rightarrow \; a+n+n = c \; \Rightarrow \)

    \( \Rightarrow \; a +2n = c \; \Rightarrow \; a R c \; (2n \in N)\)
La relación así definida es de orden total porque en la relación de orden usual se cumple :
    \( \forall a \in N \quad \exists b \in N / b \geq a \quad \Rightarrow \quad \exists n \in N \cup \{ 0 \} \quad / \quad a+n = b\)
La relación así definida posee también buena ordenación, porque N admite primer elemento :
    \( \not\exists \quad aR1 \neq 1 \quad / \quad a+n = 1 \)
haciendo las mismas consideraciones para el conjunto Z de los enteros, tenemos que la relación definida es de orden porque N está incluido en Z. La relación es de orden total porque \( \forall a \in Z \; \exists b \in z \; / \; b \geq a \) , por la relación de orden usual, y, por tanto, \( \exists n \in Z \; / \; a+n = b\).

La relación no tiene buena ordenación porque no tiene mínimo, ya que \( \forall a \in Z \; \exists b R a \; / \; b + n= a \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás