Ejercicios de álgebra - Respuesta 4

Comprobamos que la relación dada en el enunciado es relación de orden.

Propiedad reflexiva,

\( \forall a \in N \quad \Rightarrow \quad a R a \; ya \; que \; a+0 = a\)

Propiedad antisimétrica. Si aRb y bRa entonces a = b . Tenemos

\( \left. \begin{array}{l} aRb \; \Rightarrow \; a+n = b \; ; \; a-b = -n \\
\\ bRa \; \Rightarrow \; b+n = a \; ; \; b-a = -n
\end{array}\right\} \; \Rightarrow \quad a-b = b-a \; \Rightarrow \; 2a = 2b \; \Rightarrow \; a = b
\)

Propiedad transitiva. Si aRb y bRc entonces aRc. Tenemos :

\( \left. \begin{array}{l} aRb \; \Rightarrow \; a+n = b \\
\\ bRc \; \Rightarrow \; b+n = c \end{array}\right\} \; \Rightarrow \; a+n = c-n \; \Rightarrow \; a+n+n = c \; \Rightarrow \)


\( \Rightarrow \; a +2n = c \; \Rightarrow \; a R c \; (2n \in N)\)

La relación así definida es de orden total porque en la relación de orden usual se cumple :

\( \forall a \in N \quad \exists b \in N / b \geq a \quad \Rightarrow \quad \exists n \in N \cup \{ 0 \} \quad / \quad a+n = b\)

La relación así definida posee también buena ordenación, porque N admite primer elemento :

\( \not\exists \quad aR1 \neq 1 \quad / \quad a+n = 1 \)

haciendo las mismas consideraciones para el conjunto Z de los enteros, tenemos que la relación definida es de orden porque N está incluido en Z. La relación es de orden total porque \( \forall a \in Z \; \exists b \in z \; / \; b \geq a \) , por la relación de orden usual, y, por tanto, \( \exists n \in Z \; / \; a+n = b\).

La relación no tiene buena ordenación porque no tiene mínimo, ya que \( \forall a \in Z \; \exists b R a \; / \; b + n= a \)