En
el conjunto de los números naturales, N, se define la relación
:
ARb 
a+n = b, siendo 
Probar que es de orden, orden total, buena ordenación.
Si la misma relación está definida en los enteros, probar que
dota a este conjunto de estructura de orden total pero no buena
ordenación.
Respuesta 4
Comprobamos que es relación de orden.
Propiedad reflexiva,  ,
ya que a + 0 = a
Propiedad antisimétrica. Si aRb y bRa entonces a = b . Tenemos
Propiedad transitiva. Si aRb y bRc entonces aRc. Tenemos :
La relación así definida es de orden total porque en la relación
de orden usual se cumple :
La relación así definida posee también buena ordenación, porque
N admite primer elemento :
haciendo las mismas consideraciones para el conjunto Z de los
enteros, tenemos que la relación definida es de orden porque
N está incluido en Z. La relación es de orden total porque  ,
por la relación de orden usual, y, por tanto,  .
La relación no tiene buena ordenación porque no tiene mínimo,
ya que 
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