En el conjunto de los números naturales, N, se define la relación :

ARb a+n = b, siendo

Probar que es de orden, orden total, buena ordenación.
Si la misma relación está definida en los enteros, probar que dota a este conjunto de estructura de orden total pero no buena ordenación.

Respuesta 4

Comprobamos que es relación de orden.

Propiedad reflexiva, , ya que a + 0 = a

Propiedad antisimétrica. Si aRb y bRa entonces a = b . Tenemos



Propiedad transitiva. Si aRb y bRc entonces aRc. Tenemos :



La relación así definida es de orden total porque en la relación de orden usual se cumple :



La relación así definida posee también buena ordenación, porque N admite primer elemento :



haciendo las mismas consideraciones para el conjunto Z de los enteros, tenemos que la relación definida es de orden porque N está incluido en Z. La relación es de orden total porque , por la relación de orden usual, y, por tanto, .

La relación no tiene buena ordenación porque no tiene mínimo, ya que