PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 2
Comprobamos que la relación dada en el enunciado es de equivalencia.
Propiedad reflexiva :
    \( \forall (a, b) \in R\times R \; \Rightarrow \; (a,b) R (a,b) ∴ a^2+b^2 = a^2 + b^2 \)
Propiedad simétrica : Si (a,b)R(c,d) entonces (c,d)R(a,b) puesto que :
    \(\begin{array}{l} (a,b)R(c,d) 4" a^2+b^2 = c^2 + d^2 \quad \Rightarrow \\  \\ \rightarrow c^2 + d^2 = a^2+b^2 4" (c,d)R(a,b) \end{array}\)
Propiedad transitiva : Si (a,b)R(c,d) y (c,d)R(e,f) entonces (a,b)R(e,f) puesto que :
    \( \left. \begin{array}{l} a^2+b^2 = c^2 + d^2 \\
    \\ c^2 + d^2 = e^2+f^2
    \end{array}\right\} \; \Rightarrow \; a^2+b^2 = c^2 + d^2 = e^2+f^2 \quad \Rightarrow \)


    \( \Rightarrow \; a^2+b^2 = e^2+f^2 \; \Rightarrow \; (a,b)R(e,f) \)
La relación definida de ese modo en RxR es de equivalencia y el conjunto cociente RxR/R será el formado por las circunferencias del plano con centro en el origen.
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tema escrito por: José Antonio Hervás