Ejercicios de álgebra - Respuesta 2

Comprobamos que la relación dada en el enunciado es de equivalencia :

Propiedad reflexiva :

\( \forall (a, b) \in R\times R \quad \Rightarrow \quad (a,b) R (a,b) ∴ a^2+b^2 = a^2 + b^2 \)

Propiedad simétrica : Si (a,b)R(c,d) entonces (c,d)R(a,b) puesto que :

\((a,b)R(c,d) ∴ a^2+b^2 = c^2 + d^2 \quad \Rightarrow \quad c^2 + d^2 = a^2+b^2 ∴ (c,d)R(a,b)\)

Propiedad transitiva : Si (a,b)R(c,d) y (c,d)R(e,f) entonces (a,b)R(e,f) puesto que :

\( \left. \begin{array}{l} a^2+b^2 = c^2 + d^2 \\
\\ c^2 + d^2 = e^2+f^2
\end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad a^2+b^2 = c^2 + d^2 = e^2+f^2 \quad \Rightarrow \)


\( \Rightarrow \quad a^2+b^2 = e^2+f^2 \quad \Rightarrow \quad (a,b)R(e,f) \)

La relación definida de ese modo en RxR es de equivalencia y el conjunto cociente RxR/R será el formado por las circunferencias del plano con centro en el origen.