Ejercicios de álgebra - Respuesta 1

Para comprobar que la relación dada en el enunciado es de equivalencia hacemos :

Propiedad reflexiva

\( \forall a \in Z \Rightarrow aRa \)

ya que a+a = 2 a que es múltiplo de 2.

Propiedad simétrica : Si aRb entonces a+b es múltiplo de 2, pero a+b = b+a y, por lo tanto b+a es múltiplo de 2, esto es bRa.

Propiedad transitiva : Si aRb y bRc entonces a+b es múltiplo de 2 y b+c es múltiplo de 2. De ahí a+b+b+c = a + 2b + c es múltiplo de 2 y trivialmente a+c es múltiplo de 2 puesto que 2b siempre es múltiplo de 2. Por todo ello, aRc.

La relación así definida si es de equivalencia y el conjunto cociente es Z/R = {pares , impares}