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TEORÍA DE CONJUNTOS ~ ÁLGEBRA

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ejercicios resueltos

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Enunciado 41

Sean los conjuntos A = [-1, 1] y B = R y las aplicaciones de A en B :
    \( j: \; x \; \rightarrow \; j(x) = \;\left \{\begin{array}{l} 0 \; si\; x \in Q \\ \\ \\ 1 \; si\; x \not\in Q . \end{array} \right. \; ; \; k: \; x \; \rightarrow \quad k(x) = + \sqrt{1-x^2}\)
Deducir cuales de las anteriores aplicaciones son sobreyectivas, inyectivas, biyectivas. En el caso de las biyecciones, obtener las inversas.
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Enunciado 42

Sea E un conjunto dotado de una relación binaria que es reflexiva y transitiva. Demostrar que la relación binaria R', definida por:
    \( a \; R' \; b \Leftrightarrow a R b \; y \; b R a\)
es de equivalencia
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Enunciado 43

Siendo A, B y C conjuntos cualesquiera, obtener el complementario de:
    \( (\bar{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap \bar{B} ) \)
Y escribir la fórmula dual del resultado.
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Enunciado 44

En un torneo infantil de multideporte celebrado a lo largo del curso escolar pasado, en todos los casos, al menos el 70 % de los deportistas perdió algún partido jugando al futbol, el 75 % perdió jugando a baloncesto, el 80 % perdió en balonmano y el 85 % perdió compitiendo en rugby. ¿Cuantos jugadores perdieron, como mínimo, en todos los deportes?
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Enunciado 45

Siendo E el conjunto de los números enteros, definimos en E x E una relación de la forma:
    \( (c, d) \; R \; (a, b) \Leftrightarrow ad = bc \)
Demostrar que R es una relación de equivalencia
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Enunciado 46

Demostrar que la relación definida por :
    \( (m, n) \; R \; (p, q) \Leftrightarrow m + q = n + p \)
Donde m, n, p, q son números y el signo + representa a la adición ordinaria, es una relación de equivalencia
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Enunciado 47

Sea sobre el conjunto de todos los números reales positivos y mayores que cero, provisto de la multiplicación y adición normales, la ley de composición definida en la forma:
    \( \displaystyle a \otimes b = \frac{ab+1}{a+b} \)
Estudiar si dicha ley es asociativa y conmutativa y posee elemento neutro.
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Enunciado 48

Estudiar las propiedades de las siguientes leyes de composición interna definidas en el conjunto de los números naturales:
    \( x \oplus y = 3x + 2y \qquad ; \qquad x \otimes y = 4xy\)
¿Es alguna de ellas distributiva respecto de la otra?
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Enunciado 49

Demostrar que para una ley de composición interna asociativa se cumple que el elemento inverso por la izquierda de uno dado también lo es por la derecha; que el elemento neutro lo es por la izquierda y por la derecha; que cada elemento tiene sólo un iverso y que el inverso del inverso de un elemento dado es dicho elemento.
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Enunciado 50

En una ley de composición interna en la que verifica la propiedad asociativa, calcular los elementos simétricos de los elementos \( (x \otimes y) \) y \( (x \otimes y \otimes z) \)
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CUESTIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

grupo uno ~ : ~ grupo dos ~ : ~ grupo tres

grupo cuatro ~ : ~ grupo cinco ~ : ~ grupo seis
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tema escrito por: José Antonio Hervás