Enunciado
33
Simplificar la siguiente expresión que implica a los conjuntos
X, Y y Z:
\( (X\cup Y)\cup (X\cap Z\cup Y)\)
Demostrar, además, que para todo par de conjuntos X e Y
se cumple:
\((X\cap Y)\cup (X\cap Y')\cup (X' \cap Y)\cup (X' \cap Y') = I\)
Donde la tilde (‘) representa al conjunto complementario
de uno dado e I es el conjunto universal.
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Enunciado 34
Demostrar las leyes de Morgan y la propiedad involutiva de aplicación
en la teoría de conjuntos y expresadas simbólicamente
por las relaciones:
\( \overline{A\cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \quad ; \quad \overline{A\cup
B} = \bar{A} \cap \bar{B} \quad ; \quad \overset{=}A = A\)
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Enunciado 35
Se denomina diferencia simétrica de dos conjuntos al conjunto:
\( (A \cap \bar{B})\cup (\bar{A} \cap B) \)
Demostrar que la intersección de conjuntos es distributiva
respecto a la diferencia simétrica de conjuntos.
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Enunciado 36
Siendo A y B subconjuntos de un conjunto universal U, demostrar
que si su diferencia simétrica es igual a uno de ellos,
el otro es el conjunto vacío. Este hecho define la llamada
ley de Poretsky.
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Enunciado 37
Si se define el conjunto A-B como el formado por los elementos
de A que no pertenecen a B, comprobar que se cumple:
\( (A-B) = (A \cap \bar{B}) = (\bar{B} - \bar {A})\)
¿Es conmutativa la operación diferencia de dos conjuntos?,
¿es asociativa?
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Enunciado 38
Demostrar que la intersección de conjuntos es distributiva
respecto de la diferencia de conjuntos pero que la unión
no lo es.
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Enunciado 39
Para el conjunto de los enteros, se consideran las leyes de composición
siguientes:
\( a \times b = a + 2·b \quad ; \quad a \top b = 2·a·b\)
Son asociativas, conmutativas y distributivas la una de la otra,
en Z?
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Enunciado 40
Sea sobre R, provisto de la multiplicación y adición
normales, la ley de composición definida en la forma:
\( a \top b = a·b +a + b \)
Demostrar y resolver lo siguiente:
Que dicha ley es asociativa y conmutativa y posee elemento neutro
¿Qué elementos poseen simétrico?
¿Es distributiva respecto al producto y la adición
normales?
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