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TEORÍA DE CONJUNTOS ~ ÁLGEBRA

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ejercicios resueltos

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Enunciado 31

En un grupo de 100 persona se encuentra que hay 95 aficionados al futbol, 75 aficionados a las carreras de fórmula 1, 80 aficionados al balonmano y 85 aficionados al ciclismo. Calcular el número mínimo de personas aficionadas a los cuatro deportes..
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Enunciado 32

Simplificar la siguiente expresión relativa a los conjuntos A, B, C y D:
    \( [A'\cap (B\cup C)\cap D]\cup[(A \cup B')\cap B]'\)
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Enunciado 33

Simplificar la siguiente expresión que implica a los conjuntos X, Y y Z:
    \( (X\cup Y)\cup (X\cap Z\cup Y)\)
Demostrar, además, que para todo par de conjuntos X e Y se cumple:
    \((X\cap Y)\cup (X\cap Y')\cup (X' \cap Y)\cup (X' \cap Y') = I\)
Donde la tilde (‘) representa al conjunto complementario de uno dado e I es el conjunto universal.
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Enunciado 34

Demostrar las leyes de Morgan y la propiedad involutiva de aplicación en la teoría de conjuntos y expresadas simbólicamente por las relaciones:
    \( \overline{A\cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \quad ; \quad \overline{A\cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \quad ; \quad \overset{=}A = A\)
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Enunciado 35

Se denomina diferencia simétrica de dos conjuntos al conjunto:
    \( (A \cap \bar{B})\cup (\bar{A} \cap B) \)
Demostrar que la intersección de conjuntos es distributiva respecto a la diferencia simétrica de conjuntos.
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Enunciado 36

Siendo A y B subconjuntos de un conjunto universal U, demostrar que si su diferencia simétrica es igual a uno de ellos, el otro es el conjunto vacío. Este hecho define la llamada ley de Poretsky.
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Enunciado 37

Si se define el conjunto A-B como el formado por los elementos de A que no pertenecen a B, comprobar que se cumple:
    \( (A-B) = (A \cap \bar{B}) = (\bar{B} - \bar {A})\)
¿Es conmutativa la operación diferencia de dos conjuntos?, ¿es asociativa?
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Enunciado 38

Demostrar que la intersección de conjuntos es distributiva respecto de la diferencia de conjuntos pero que la unión no lo es.
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Enunciado 39

Para el conjunto de los enteros, se consideran las leyes de composición siguientes:
    \( a \times b = a + 2·b \quad ; \quad a \top b = 2·a·b\)
Son asociativas, conmutativas y distributivas la una de la otra, en Z?
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Enunciado 40

Sea sobre R, provisto de la multiplicación y adición normales, la ley de composición definida en la forma:
    \( a \top b = a·b +a + b \)
Demostrar y resolver lo siguiente:
Que dicha ley es asociativa y conmutativa y posee elemento neutro
¿Qué elementos poseen simétrico?
¿Es distributiva respecto al producto y la adición normales?
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CUESTIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

grupo uno ~ : ~ grupo dos ~ : ~ grupo tres

grupo cuatro ~ : ~ grupo cinco ~ : ~grupo seis
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tema escrito por: José Antonio Hervás