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TEORÍA DE CONJUNTOS ~ ÁLGEBRA

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ejercicios resueltos

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Enunciado 21

Sean A y B dos subconjuntos de E; consideremos la aplicación:
    \( \begin{array}{l}
    f:P(E) \quad \rightarrow \quad P(A)\bullet P(B) \\
    \\
    \qquad X \quad \rightarrow \quad f(x) = (x \cap A , x \cap B)
    \end{array}\)
Encontrar una condición necesaria y suficiente para que f sea inyectiva.
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Enunciado 22

Sean:
    \( f:A \quad \rightarrow \quad B \quad y \quad g:B \quad \rightarrow \quad C\)
Dos aplicaciones y h = g•f la aplicación compuesta.
Probar que si h es inyectiva, entonces f es inyectiva y si h es sobreyectiva entonces g es sobreyectiva.
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Enunciado 23

Sea E un conjunto finito provisto de una ley asociativa, representada multiplicativamente y poseyendo elemento neutro, e. Demostrar que todo elemento regular es simetrizable. Con la ayuda de un contraejemplo, demostrar que este resultado es falso si E es infinito.
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Enunciado 24

Dado el conjunto E con una Ley de Composición Interna (LCI) asociativa y un elemento m perteneciente a E, se llama traslación a la izquierda [respectivamente a la derecha] asociada a m a la aplicación
    \(f_m(x) = m·x \quad [g_m(x) = x·m] \)
Demostrar que si m es simetrizable, entonces fm y gm son biyectivas. Si m es regular, demostrar que fm y gm son inyectivas. Si fm y gm son sobreyectivas, ¿existe en E elemento neutro?.
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Enunciado 25

Sea E = {e, a, b, c} y definimos en dicho conjunto una ley de composición interna, representada por (•), para la que “e” es el elemento neutro y, además, la ley viene definida por las siguientes igualdades:
    \( a^2 = b^2 = c^2 = e \; ; \; bc = cb = a \; ; \; ca = ac = b \; ; \; ab = ba = c\)
Demostrar que esta ley es asociativa, conmutativa y que todo elemento es inversible.
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Enunciado 26

Se define en Z la siguiente relación binaria:
    \( a R b \quad \leftrightarrow \quad a-b = \dot{3}\)
Se pide ver si es relación de equivalencia y caso de que lo sea encontrar las clases y el conjunto cociente.
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Enunciado 27

Ver si la relación binaria definida en Z:
    \(a R b \quad \leftrightarrow \quad a^2-b^2 = a-b \)
Es relación de equivalencia y, en caso positivo, encontrar las clases.
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Enunciado 28

Sean los conjuntos:
    \( A = \{1, 2, 3, 4\} \; ; \; S = \{ 1, 4\} \)
Se definen en el conjunto potencia, P(A), las siguientes relaciones binarias:
    \( x R y \quad \leftrightarrow \quad X \cup S = Y \cup S \quad ; \quad x R' y \quad \leftrightarrow \quad X \cap S = Y \cap S\)
Se pide ver si son de equivalencia y, caso de que lo sean, determinar las clases.
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Enunciado 29

Sea el conjunto:
    \( A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}\)
Y consideremos en A la relación binaria:
    \( x R y \quad \leftrightarrow \quad x / y\) (x divide a y)
Ver si dicha relación es de orden. Si es así, ver si es de orden total o parcial. Decir si está bien ordenado. Hallar los elementos distinguidos respecto a cada una de las partes:
    \( S_1 = \{8, 12, 16\} \; ; \; S_2 = \{2, 4, 6, 8\} \; ; \; S_3 = \{12, 16, 24, 48\} \)
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Enunciado 30

Sea en Q* la siguiente relación binaria:
    \( \displaystyle a R b \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{a^2} + a^2 = \frac{1}{b^2} + b^2\)
Ver si es relación de equivalencia y, en caso afirmativo, determinar las clases.
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CUESTIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

grupo uno ~ : ~ grupo dos ~ : ~ grupo tres

grupo cuatro ~ : ~ grupo cinco ~ : ~ grupo seis
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tema escrito por: José Antonio Hervás