Enunciado 17
Dadas las aplicaciones:
\( f: Z^2 \quad \rightarrow \quad Z \div f(x,y) = x-y \quad
; \quad g: Z \quad \rightarrow \quad Z^2 \div g(x) = (x, -x)\)
Determinar las aplicaciones compuestas g.f y f.g, diciendo además
si cada una de las aplicaciones f, g, (g•f) y (f•g)
es sobeyectiva, inyectiva o biyectiva.
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Enunciado 18
Dadas las aplicaciones:
\( \displaystyle f: Q \; \rightarrow \; Q \div f(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}
\quad ; \quad g: Q \; \rightarrow \; Q \div g(x) = 2x^2 - 3x\)
Obtener las aplicaciones g•f y f•g
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Enunciado 19
Dadas las aplicaciones:
\( f: R \; \rightarrow \; R \div f(x) = x^3 \quad ; \quad h:
R \; \rightarrow \; R \div h(x) = x\)
Encontrar una aplicación:
\(g: R \; \rightarrow \; R \quad \) tal que \( h = g \circ f
= I_R\)
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Enunciado 20
Sea una aplicación f de un conjunto A en un conjunto B.
Demostrar que:
\( \forall X \subset A \quad X' = f^{-1}\big(f(x)\big) = X\)
Implica que f es inyectiva
Y que:
\(\forall \, Y \subset B \quad Y\,' = f\big(f^{-1}(x)\big) =
Y\)
Implica que f es sobreyectiva.
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Enunciado
21
Sean A y B dos subconjuntos de E; consideremos la aplicación:
\( \begin{array}{l}
f:P(E) \quad \rightarrow \quad P(A)\bullet P(B) \\
\\
\qquad X \quad \rightarrow \quad f(x) = (x \cap A , x \cap B)
\end{array}\)
Encontrar una condición necesaria y suficiente para que
f sea inyectiva.
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Enunciado 22
Sean:
\( f:A \quad \rightarrow \quad B \quad y \quad g:B \quad \rightarrow
\quad C\)
Dos aplicaciones y h = g•f la aplicación compuesta.
Probar que si h es inyectiva, entonces f es inyectiva y si h es sobreyectiva
entonces g es sobreyectiva.
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Enunciado 23
Sea E un conjunto finito provisto de una ley asociativa, representada multiplicativamente
y poseyendo elemento neutro, e. Demostrar que todo elemento regular es simetrizable.
Con la ayuda de un contraejemplo, demostrar que este resultado es falso si E
es infinito.
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Enunciado 24
Dado el conjunto E con una Ley de Composición Interna (LCI)
asociativa y un elemento m perteneciente a E, se llama traslación
a la izquierda [respectivamente a la derecha] asociada a m a la
aplicación
\(f_m(x) = m·x \quad [g_m(x) = x·m] \)
Demostrar que si m es simetrizable, entonces f
m y g
m
son biyectivas. Si m es regular, demostrar que f
m y
g
m son inyectivas. Si f
m y g
m
son sobreyectivas, ¿existe en E elemento neutro?.
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