Problemas y ejercicios resueltos de Algebra básica

Enunciado 1

Estudiar si la relación definida en Z = {enteros} por aRb

a + b múltiplo de 2, es de equivalencia y determinar el conjunto cociente en caso de que lo sea.

Enunciado 2

Comprobar que la relación definida en RxR de la forma (a,b)R(c,d)

a² + b² = c² + d² es de equivalencia y representar gráficamente el conjunto cociente RxR/R.

Enunciado 3

Probar que la relación R reflexiva y circular definida sobre E es simétrica y transitiva. En una relación circular, si aRb y bRc entonces cRa.

Enunciado 4

En el conjunto de los números naturales, N, se define la relación :

Probar que es de orden, orden total, buena ordenación.
Si la misma relación está definida en los enteros, probar que dota a este conjunto de estructura de orden total pero no buena ordenación.

Enunciado 5

En el conjunto N de los números naturales, considérese la relación de divisibilidad x/y en la forma :

Enunciado 6

Sea A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}, probar que admite alguna relación de orden y hallar los elementos distinguidos respecto a cada una de las partes S₁ = {8, 12, 16} ; S₂ = {2, 4, 6, 8} ; S₃ = {12, 16, 24, 48}. Determinar si A es un retículo y, en caso positivo, expresar mediante un diagrama el retículo A, de forma que se vea el supremo e ínfimo de dos elementos cualesquiera.

Enunciado 7

Sea Z el conjunto de los enteros. Definimos en dicho conjunto una relación R como sigue :

Probar que es relación de equivalencia y hallar el conjunto cociente.

Enunciado 8

Sea el conjunto R y los números reales a (distinto de cero), b y c. Definimos las aplicaciones de R en R siguientes :

Sean los conjuntos A = [-1, 1] y B = R y las aplicaciones de A en B :

Determinar cuales de las aplicaciones anteriores son sobreyectivas, inyectivas, biyectivas y obtener las inversas de las biyecciones.

Enunciado 9

Sean los conjuntos A y B y definida en ellos una correspondencia tal que a cada elemento x de A la correspondencia le asocia el elemento y de B tal que y = x² Decir en cual de los siguientes casos la ley es aplicación y clasificarla.

1º) A = N , B = N ; 2º) A = Z* , B = N ; 3º) A = N , B = {y en N / y = cuadrado perfecto} ;

4º) A = Z , B = N ; 5º) A = R+ , B = R+ ; 6º) A = R , B = R+ ; 7º) A = R , B = R- ;

8º) A = R- , B = R+.

Enunciado 10

Siendo A y B subconjuntos de U, probar que los subconjuntos

constituyen una partición de U.

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PROBLEMAS y EJERCICIOS RESUELTOS de ALGEBRA BÁSICA