Enunciado
1
Estudiar si la relación definida en Z = {enteros} por aRb ⇔a
+ b múltiplo de 2, es de equivalencia y determinar el conjunto
cociente en caso de que lo sea.
Enunciado 2
Comprobar que la relación definida en RxR de la forma (a,b)R(c,d)
⇔ a² + b² = c² + d² es de equivalencia
y representar gráficamente el conjunto cociente RxR/R.
Enunciado 3
Probar que la relación R reflexiva y circular definida sobre E
es simétrica y transitiva. En una relación circular, si aRb y
bRc entonces cRa.
Enunciado 4
En el conjunto de los números naturales, N, se define la relación
:
\( aRb \quad \Leftrightarrow \quad a + n = b, \; siendo \; n
\in N \cup \{0\} \)
Probar que es de orden, orden total, buena ordenación.
Si la misma relación está definida en los enteros, probar que
dota a este conjunto de estructura de orden total pero no buena
ordenación.
Enunciado 5
En el conjunto N de los números naturales, considérese la relación
de divisibilidad x/y en la forma :
\( x / y \quad \Leftrightarrow \quad \exists n \; t.q. y = n·x
\)
a) Ver que tipo de ordenación es
b) Ver que cualquier parte no vacía y finita de N tiene extremo
superior e inferior.
c) Deducir del punto anterior si N, ordenado por la relación
de divisibilidad, es un retículo.
d) Determinar en N – {1} los elementos mínimo, minimales, máximo
y maximales, si los hubiera.
Ver
Solución
Enunciado 6
Sea A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}, probar que admite
alguna relación de orden y hallar los elementos distinguidos respecto
a cada una de las partes S1 = {8, 12, 16} ; S2
= {2, 4, 6, 8} ; S3 = {12, 16, 24, 48}. Determinar
si A es un retículo y, en caso positivo, expresar mediante un
diagrama el retículo A, de forma que se vea el supremo e ínfimo
de dos elementos cualesquiera.
Ver Solución
Enunciado 7
Sea Z el conjunto de los enteros. Definimos en dicho conjunto
una relación R como sigue :
\( a\, R\, b \quad \Leftrightarrow \quad b-a = \dot{m} \quad
; \quad m \in Z\)
Probar que es relación de equivalencia y hallar el conjunto cociente.
Ver Solución
Enunciado 8
Sea el conjunto R y los números reales a (distinto de cero), b
y c. Definimos las aplicaciones de R en R siguientes :
\( f: x \; \rightarrow \; f(x) = ax+b \quad ; \quad g: x \; \rightarrow \; g(x) = ax^2 + bx + c \quad ; \quad h: x \; \rightarrow \; h(x) = \sin x \)
Sean los conjuntos A = [-1, 1] y B = R y las aplicaciones de A
en B :
\( j: \quad x \quad \rightarrow \quad j(x) = \;\left \{\begin{array}{l}
0 \; si\; x \in Q \\ \\ \\ 1 \; si\; x \not\in Q . \end{array}
\right.\)
\( k: \quad x \quad \rightarrow \quad k(x) = + \sqrt{1-x^2}\)
Determinar cuales de las aplicaciones anteriores son sobreyectivas,
inyectivas, biyectivas y obtener las inversas de las biyecciones.
Ver Solución
Ejercicios
, cuestiones y problemas resueltos de álgebra
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