Ejercicios de física de semiconductores

Demuéstrese que la densidad efectiva de estados, \(N_C\), representa la densidad de estados en una banda de 1,2.kT de ancho cerca del borde de la banda de conducción. Explíquese el significado físico del resultado a que se llegue.
En las conducciones dadas se tiene:

\(\displaystyle N_C = \frac{11,14}{h^3}(2m_ekT)^{3/2} \)

Dato:

\(\displaystyle g_n = \frac{4· \pi}{h^3}(2m_e)^{3/2}·\sqrt{E - E_c} \)

Respuesta del ejemplo 48

Sabemos que \(g_n \) es la densidad de estados electrónicos que nos permite obtener el número de electrones por unidad de volumen en la banda de conducción:

\(\displaystyle n_o = \int_{E_c}^\infty g_n(E)·f(E)dE \)

siendo f(E) la función de distribución de Fermi-Dirac.
Conociendo \(g_n(E) \; y \; F(E) \) se puede obtener \(n_o\) mediante:

\(\displaystyle n_o = \int_{E_c}^\infty \frac{4· \pi(2m_e/h^2)^{3/2}·\sqrt{E - E_c}}{1 + \exp [(E-E_F)/kT]}dE \)

y tomando las variables adimensionales:

\(\displaystyle \varepsilon = \frac{E-E_c}{kT}\quad ; \quad \eta = \frac{E_F-E_c}{kT} \)

nos queda:

\(\displaystyle n_o = 4 \pi \left[\frac{2m_ckT}{h^2}\right]^{3/2}\int_0^\infty \frac{\sqrt{\varepsilon}·d\varepsilon}{1+\exp(\varepsilon - \eta)} = N_c·\mathfrak{F}_{1/2}(\eta) \)

donde \(N_c\) es la denominada densidad efectiva de estados en la banda de conducción y \(\mathfrak{F}_{1/2}(\eta)\) es la integral de Fermi de orden ½. Para esta integral se puede tomar como buena aproximación el valor: \(\mathfrak{F}_{1/2}(\eta) \simeq e^\eta\), lo cual nos permite escribir:

\(\displaystyle n_o = N_Ce^\eta = N_C·\exp \left(\frac{E_F-E_C}{kT}\right)= N_C·\exp \left(-\frac{E_C-E_F}{kT}\right) \)

lo que significa que el número total de electrones en la banda de conducción es el mismo que si existiesen \(N_c\) niveles por unidad de volumen, todos los con la misma energía \(E_c\)