Ejercicios de física de semiconductores
Respuesta del ejemplo 48
Sabemos que \(g_n \) es la densidad de estados electrónicos
que nos permite obtener el número de electrones por unidad
de volumen en la banda de conducción:
\(\displaystyle n_o = \int_{E_c}^\infty g_n(E)·f(E)dE \)
siendo f(E) la función de distribución de Fermi-Dirac.
Conociendo \(g_n(E) \; y \; F(E) \) se puede obtener \(n_o\)
mediante:
\(\displaystyle n_o = \int_{E_c}^\infty \frac{4· \pi(2m_e/h^2)^{3/2}·\sqrt{E
- E_c}}{1 + \exp [(E-E_F)/kT]}dE \)
y tomando las variables adimensionales:
\(\displaystyle \varepsilon = \frac{E-E_c}{kT}\quad ; \quad \eta = \frac{E_F-E_c}{kT} \)
nos queda:
\(\displaystyle n_o = 4 \pi \left[\frac{2m_ckT}{h^2}\right]^{3/2}\int_0^\infty \frac{\sqrt{\varepsilon}·d\varepsilon}{1+\exp(\varepsilon - \eta)} = N_c·\mathfrak{F}_{1/2}(\eta) \)
donde \(N_c\) es la denominada densidad efectiva de estados
en la banda de conducción y \(\mathfrak{F}_{1/2}(\eta)\)
es la integral de Fermi de orden ½. Para esta integral
se puede tomar como buena aproximación el valor: \(\mathfrak{F}_{1/2}(\eta)
\simeq e^\eta\), lo cual nos permite escribir:
\(\displaystyle n_o = N_Ce^\eta = N_C·\exp \left(\frac{E_F-E_C}{kT}\right)=
N_C·\exp \left(-\frac{E_C-E_F}{kT}\right) \)
lo que significa que el número total de electrones en la
banda de conducción es el mismo que si existiesen \(N_c\)
niveles por unidad de volumen, todos los con la misma energía
\(E_c\)