PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de física de semiconductores

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física de semiconductores

Respuesta del ejemplo 41

La expresión general para la ecuación de continuidad para el caso de huecos:

    \(\displaystyle \frac{1}{q}\nabla \vec{J}_p + \frac{p'_n(x)}{\tau_n} = g_L - \frac{\partial p'_n}{\partial t} \Rightarrow \frac{1}{q}\nabla \vec{J}_p + \frac{p'_n(x)}{\tau_n} = g_L\)

Si suponemos que los huecos solo se mueven por difusión, su densidad de corriente valdrá:

    \(\displaystyle J_p = -qD_p\frac{\partial p'_n}{\partial x} \)

Por otro lado, en \(x = \infty\) no hay gradiente, por lo que tendremos:

    \(p'_n(\infty) = g_L\tau_p \Rightarrow p_n(\infty) = p_{no} g_L\tau_p \)

En x=0 hay recombinación superficial y vendrá dada por \(s_p·p'_n(0) \). Esta cantidad será igual al número de portadores que llegan a x = 0 y cuyo valor vendrá dado en función de la densidad de corriente, es decir, que podemos escribir:

    \(\displaystyle \left.\frac{J_p}{q}\right|_0 = D_p\left.\frac{dp'_n}{dx}\right|_0 = s_pp'_n(0) \Rightarrow D_p\left.\frac{dp'_n}{dx}\right|_0 = s_pp'_n(0)\quad (*) \)

Volviendo a la ecuación de continuidad (que para el caso presente recicbe el nombre de ecuación de difusión) en la cual hemos sustituido el valor de \(J_p \), tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d^2p'_n}{dx^2} - \frac{p'_n(x)}{L_p^2} = - \frac{g_L}{D_p} \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow p'_n(x) = g_L·\tau_p + A·e^{x/L_p} + B·e^{-x/L_p}
    \end{array}\)

pero considerando que \(p'(\infty) = g_L·\tau_p \) resultará A = 0 y nos quedará:

    \(\displaystyle p'_n(x) = g_L\tau_p + Be^{-x/L_p} \)

Para obtener el valor de B consideramos la ecuación (*) que nos da:

    \(\displaystyle D_pB\left(-\frac{1}{L_p}\right) = s_p(g_L\tau_p + B) \Rightarrow B = - \frac{s_pg_L\tau_p}{(D_p/L_p)+ s_p} \)

Luego tendremos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} p'(x) = g_L\tau_p\left(1 -\frac{s_pg_L\tau_p}{(D_p/L_p)+ s_p}e^{-x/L_p} \right) = \\ \\ = g_L\tau_p\left(1 -\frac{g_L\tau_p/L_p}{1 + (s_p\tau_p/L_p)}e^{-x/L_p} \right) \end{array} \)

donde es fácil ver que hemos multiplicado numerador y denominador por \(\tau_p/L_p \) teniendo en cuenta que \(D_p·\tau_p = L_p\).
En estas condiciones el exceso de portadores minoritarios en x=0 será:

    \(\displaystyle p'(0) = g_L·\tau_p\left(1 -\frac{s_p·\tau_p/L_p}{1 + (s_p·\tau_p/L_p)}\right) = \frac{g_L·\tau_p}{1 + (\tau_ps_p/L_p)} \)

b) Si en la expresión obtenida para \(p'(x)\) hacemos \(s_p \rightarrow \infty\), nos quedará:

    \(p'(0) = 0 \quad ; \quad p'_n(\infty) =g_L·\tau_p \)
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás