PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de física de semiconductores

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Ejercicios de física de semiconductores

Sea un semiconductor tipo II que tiene recombinación superficial en una sola cara y cuya velocidad de recombinación es \(s_p\).
Se somete a una inyección uniforme de luz de \(g_L\) port/\(cm^3\).seg, en condiciones de débil inyección \((\tau_n = Cte \; ; \; p'_n <<< n_n)\) y en régimen estacionario. La luz penetra por igual en todas partes.
Se pide hallar:
    a) ¿Cómo es la concentración esperada de portadores minoritarios para x=0 y \(x= \infty\), es decir, calcular \(p_n(x) \; y\; p'_n(x)\). Suponer \(s_p\) alta.
    Lo mismo que el apartado anterior para \(s_p \rightarrow \infty\)
semiconductor tipo II que tiene recombinación superficial en una sola cara

Respuesta del ejemplo 41

La expresión general para la ecuación de continuidad para el caso de huecos:

    \(\displaystyle \frac{1}{q}\nabla \vec{J}_p + \frac{p'_n(x)}{\tau_n} = g_L - \frac{\partial p'_n}{\partial t} \Rightarrow \frac{1}{q}\nabla \vec{J}_p + \frac{p'_n(x)}{\tau_n} = g_L\)

Si suponemos que los huecos solo se mueven por difusión, su densidad de corriente valdrá:

    \(\displaystyle J_p = -qD_p\frac{\partial p'_n}{\partial x} \)

Por otro lado, en \(x = \infty\) no hay gradiente, por lo que tendremos:

    \(p'_n(\infty) = g_L\tau_p \Rightarrow p_n(\infty) = p_{no} g_L\tau_p \)

En x=0 hay recombinación superficial y vendrá dada por \(s_p·p'_n(0) \). Esta cantidad será igual al número de portadores que llegan a x = 0 y cuyo valor vendrá dado en función de la densidad de corriente, es decir, que podemos escribir:

    \(\displaystyle \left.\frac{J_p}{q}\right|_0 = D_p\left.\frac{dp'_n}{dx}\right|_0 = s_pp'_n(0) \Rightarrow D_p\left.\frac{dp'_n}{dx}\right|_0 = s_pp'_n(0)\quad (*) \)

Volviendo a la ecuación de continuidad (que para el caso presente recicbe el nombre de ecuación de difusión) en la cual hemos sustituido el valor de \(J_p \), tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d^2p'_n}{dx^2} - \frac{p'_n(x)}{L_p^2} = - \frac{g_L}{D_p} \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow p'_n(x) = g_L·\tau_p + A·e^{x/L_p} + B·e^{-x/L_p}
    \end{array}\)

pero considerando que \(p'(\infty) = g_L·\tau_p \) resultará A = 0 y nos quedará:

    \(\displaystyle p'_n(x) = g_L\tau_p + Be^{-x/L_p} \)

Para obtener el valor de B consideramos la ecuación (*) que nos da:

    \(\displaystyle D_pB\left(-\frac{1}{L_p}\right) = s_p(g_L\tau_p + B) \Rightarrow B = - \frac{s_pg_L\tau_p}{(D_p/L_p)+ s_p} \)

Luego tendremos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} p'(x) = g_L\tau_p\left(1 -\frac{s_pg_L\tau_p}{(D_p/L_p)+ s_p}e^{-x/L_p} \right) = \\ \\ = g_L\tau_p\left(1 -\frac{g_L\tau_p/L_p}{1 + (s_p\tau_p/L_p)}e^{-x/L_p} \right) \end{array} \)

donde es fácil ver que hemos multiplicado numerador y denominador por \(\tau_p/L_p \) teniendo en cuenta que \(D_p·\tau_p = L_p\).
En estas condiciones el exceso de portadores minoritarios en x=0 será:

    \(\displaystyle p'(0) = g_L·\tau_p\left(1 -\frac{s_p·\tau_p/L_p}{1 + (s_p·\tau_p/L_p)}\right) = \frac{g_L·\tau_p}{1 + (\tau_ps_p/L_p)} \)

b) Si en la expresión obtenida para \(p'(x)\) hacemos \(s_p \rightarrow \infty\), nos quedará:

    \(p'(0) = 0 \quad ; \quad p'_n(\infty) =g_L·\tau_p \)
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás