PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de física de semiconductores

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física de semiconductores

Respuesta del ejemplo 37

De la solución general (*) obtenida en el problema anterior, tenemos para las nuevas codiciones de contorno:

    \(P'_n(0) = cte \quad ; \quad P'_n(L) = 0 \)

Los valores:

    \(P'_n(0) = A + B \quad ; \quad 0 = Ae^{L/L_p} + Be^{-L/L_p} \)

y de ahí podemos escribir:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} A = P'_n(0) - B \Rightarrow 0 = \left[P'_n(0) - B\right]e^{L/L_p} + Be^{-L/L_p} \Rightarrow\\ \\ \\ B = \frac{P'_n(0)e^{L/L_p}}{e^{L/L_p} + e^{-L/L_p}} = \frac{P'_n(0)e^{L/L_p}}{2\sinh(L/L_p)}\Rightarrow\\ \\ \\ A = P'_n(0) - B = P'_n(0)\left[1 - \frac{e^{L/L_p}}{2\sinh(L/L_p)}\right] \end{array} \)

de modo que sustituyendo estos valores en la expresión general (*) nos queda:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} P'_n(x) = P'_n(0)\left[1 - \frac{e^{L/L_p}}{2\sinh(L/L_p)}\right]e^{x/L_p} + \frac{P'_n(0)e^{L/L_p}}{2\sinh(L/L_p)}e^{x/L_p} = \\ \\ \frac{P'_n(0)e^{L/L_p}}{2\sinh(L/L_p)}\left\{\left[2\sinh(L/L_p) - e^{L/L_p}\right]e^{x/L_p} + e^{L/L_p}e^{-x/L_p}\right\} = \\ \\ = \frac{P'_n(0)}{2\sinh(L/L_p)}\left[2e^{x/L_p}\sinh\left(\frac{L}{L_p}\right) - \exp\left(\frac{L+x}{L_p}\right) + \right. \\ \\ \left. + \exp\left(\frac{L-x}{L_p}\right)\right] = \frac{P'_n(0)}{2\sinh(L/L_p)}\left[e^{x/L_p}\left(e^{L/L_p}- e^{-L/L_p}\right) -\right. \\ \\- \left. \exp\left(\frac{L+x}{L_p}\right) + \exp\left(\frac{L-x}{L_p}\right)\right] = \frac{P'_n(0)}{2\sinh(L/L_p)}\left[\exp\left(\frac{L-x}{L_p}\right) -\right. \\ \\ -\left. \exp\left(\frac{-L+x}{L_p}\right)\right] = \frac{P'_n(0)}{\sinh(L/L_p)}\sinh\left(\frac{L-x}{L}\right) \\ \end{array} \)

El que se tenga \(L <<< L_p\) implica que \(x \rightarrow 0\) y además que \(L/L_p \rightarrow 0\), por lo que:

    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \lim_{L/L_p \rightarrow 0} P'_n(x)= \lim_{L/L_p \rightarrow 0}\frac{P'_n(0)}{\sinh(L/L_p)}\sinh\left(\frac{L-x}{L}\right) = \\
     \\
    = \frac{P'_n(0)}{L/L_p}\times \frac{L-x}{L_p} = P_n'(0)\times\frac{L-x}{L}
    \end{array} \)

y tal como queríamos demostrar, resulta que la pendienta \(P'_n(x)\) es constante.

Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás