Ejercicios de física de semiconductores
Considerese un cristal paralelepipedo infinito de tipo N, con
impurezas, sin campo exterior aplicado (no hay luz). En x =
0 se crea un exceso de minoritarios, \(P'_n(0)\) que es constante.
Se pide:
Determinar \(P_n(x)\).
¿Cuanto vale la longitud media recorrida por cada minoritario
antes de la recombinación \((L_1)\) ?.
Respuesta del ejemplo 36
La ecuación de continuidad nos permite escribir:
\(\displaystyle \frac{1}{q}·\vec{\nabla}J_p + \frac{P'_n}{\tau_p} = G_L - \frac{\partial P_n}{\partial t} \)
pero,al no haber campo exterior aplicado, la velocidad de generación,
\(G_L\), es nula. Así mismo, considerando un estado estacionario,
se anula el termino \(\partial P_n/\partial t\), y nos queda:
\(\displaystyle \frac{1}{q}·\vec{\nabla}J_p + \frac{P'_n}{\tau_p}
= 0 \)
Por otro lado, sabemos que, al no haber campo exterior, la
densidad de corriente es:
\(\displaystyle \vec{J}_p = - q·D_p·\frac{\partial
P_n}{\partial x} \)
donde \(D_p\) es la constante de difusión de huecos.
Sustituyendo esta ecuación en la anterior tenemos:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
- D_p·\frac{d^2P'_n(x)}{dx^2} + \frac{P'_n}{\tau_p} =
0\Rightarrow \\
\\
\Rightarrow \frac{d^2P'_n(x)}{dx^2} + \frac{P'_n}{L_p^2} = 0\quad
; \textrm{ donde } L_p = D_p\tau_p
\end{array}\)
La solución general de esta ecuación es:
\(\displaystyle P'_n(x) = A·e^{x/L_p} + B·e^{-x/L_p} \qquad (*) \)
y teniendo en cuenta las condiciones de contorno:
\(P'_n(0) = cte \quad ; \quad P'_n(\infty) = 0 \)
nos queda finalmente:
\(P'_n(x) = P'_n(0)·e^{-x/L_p} \)
Para obtener la longitud media recorrida por cada minoritario
antes de la recombinación tenemos:
\(\displaystyle \begin{array}{l} L' = \frac{\int_o^\infty x
|dP'_n(x)|}{P'_n(0)} = \frac{\int_o^\infty x·P'_n(0)·e^{-x/L_p}·(1/L_p)dx}{P'_n(0)}
=\\ \\ \\ = \frac{1}{L_p}\int_o^\infty x·e^{-x/L_p}dx = \left[-
x·e^{-x/L_p} - L_p·e^{-x/L_p}\right]_o^\infty = L_p \end{array}
\)