PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de física de semiconductores

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física de semiconductores

Respuesta del ejemplo 28

Para resolver el problema partimos de la ecuación de continuidad:

    \( \displaystyle \frac{1}{q}\nabla J_p + \frac{p_n - p_{n_o}}{\tau_p} = U_p - \frac{\partial p_n}{\partial t} \)
En régimen estacionario y en ausencia de flujo de difusión, cuando se produce una inyección débil tenemos:
    \( \displaystyle \frac{p_n - p_{n_o}}{\tau_p} = U_p \Rightarrow p'_n = p_n - p_{n_o} = U_p\tau_p \)
Para obtener la expresión del pérfil estacionario de portadores de la concentración de portadores aplicamos la ecuación de difusión, que en un régimen estacionario y para inyección débil, toma la forma:
    \( \displaystyle D_p\frac{d^2p_n}{dx^2} + G_p - \frac{p_n - p_{n_o}}{\tau_p} = 0 \Rightarrow D_p\frac{d^2p'_n}{dx^2} - \frac{p'_n}{\tau_p} = - G_p \)
La simetría del problema nos permite tomar como origen de coordenadas (x =0) el punto central de la barra. En esta situación, la solución general de la ecuación puede escribirse en la forma:
    \( \displaystyle p'_n(x) = G_p\tau_p + A\exp \left(\frac{x}{L_p}\right) + B\exp \left(\frac{- x}{L_p}\right)\; ;\; con\; L_p = D_p\tau_p \)
Si tomamos como condición de contorno:
    \( p'(-a) = p'(a) = 0 \)
donde a es la semilongitud de la barra, tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} p'(a) = G_p\tau_p + A\exp \left(\frac{a}{L_p}\right) + B\exp \left(\frac{- a}{L_p}\right) = 0 \\ \\ \\ p'(-a) = G_p\tau_p + A\exp \left(\frac{-a}{L_p}\right) + B\exp \left(\frac{ a}{L_p}\right) = 0 \end{array} \)
Sumando ambas expresiones obtenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    2·G_p·\tau_p + 2A·\cosh \left(\frac{a}{L_p}\right) + 2B·\cosh \left(\frac{a}{L_p}\right)= 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow A+B = - \frac{G_p·\tau_p}{\cosh(a/L_p)}
    \end{array}\)
y restando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    2A·\exp \left(\frac{a}{L_p}\right) + 2B·\exp \left(\frac{- a}{L_p}\right)= \\
     \\
    = 2A·\exp \left(\frac{a}{L_p}\right) - 2B·\exp \left(\frac{a}{L_p}\right) = 0 \Rightarrow A = B
    \end{array}\)
de donde resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    p'_n(x) = G_p\tau_p - \frac{G_p\tau_p}{\cosh(a/L_p)} \exp\left(\frac{x}{L_p}\right)- \\
     \\
    - \frac{G_p\tau_p}{\cosh(a/L_p)} \exp\left(\frac{-x}{L_p}\right)
    \end{array}\)
y reagrupando terminos:
    \( \displaystyle p'_n(x) = G_p\tau_p \left(1 - \frac{\cosh(x/L_p)}{\cosh(a/L_p)}\right) \)
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás