PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios de física de semiconductores

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física de semiconductores

A partir de las expresiones:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} N_{dn} = \frac{N_d}{1 + \frac{1}{2}\exp\left[(E_d - E_F)/kT\right]} \\ \\ n = N_c\exp \left(- \frac{E_c - E_F}{kT}\right) ] \end{array} \)
Demostrar que la fracción de impurezas ionizadas depende de la temperatura según:
    \(\displaystyle \frac{n}{N_d} = \frac{- \frac{N_c}{N_d} + \left[\left(\frac{N_c}{N_d}\right)^2 + 8\left(\frac{N_c}{N_d}\right)\times\exp\left(\frac{E_c - E_d}{kT}\right) \right]^{1/2}}{4\times\exp\left(\frac{E_c - E_d}{kT}\right)} \)
Respuesta del ejemplo 15

La cantidad de impurezas introducidas en un demiconductor se reciona con la energía de Fermi por la primera de las expresiones escritas:
    \(\displaystyle N_d = N_{dn} \left[1 + \frac{1}{2}\exp\left(\frac{E_d - E_F}{kT}\right) \right] \)
Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por n, obtenemos:
    \(\displaystyle n·N_d = n·N_{dn} \left[1 + \frac{1}{2}\exp\left(\frac{E_d - E_F}{kT}\right) \right] \)
y reagrupando trminos llegamos a:
    \(\displaystyle \frac{1}{2}n N_{dn}\exp\left(\frac{E_d - E_F}{kT}\right) = n(N_d - N_{dn} ) \)
Si ahora recordamos que n viene dada por la ecuación:
    \(\displaystyle n = N_c\exp \left(- \frac{E_c - E_F}{kT}\right) \)
Sustituyendo este valor en el primer miembro de la ecuación anterior, tenemos:
    \(\displaystyle \frac{1}{2}N_c N_{dn}\exp \left(- \frac{E_c - E_F}{kT}\right)\exp\left(\frac{E_d - E_F}{kT}\right) = n(N_d - N_{dn} ) \)
Por otra parte, de la condición de neutralidad eléctrica para un semiconductor tipo N:
    \(n = N_d - N_{dn} \Rightarrow N_{dn} = N_d - n \)
y sustituyendo en la ecuacin anterior:
    \(\displaystyle \frac{1}{2}N_c(N_d - n)\exp \left( \frac{E_d - E_c}{kT}\right) = n^2 \)
Con lo que finalmente:
    \(\displaystyle n^2 + \frac{1}{2}N_c\exp \left( \frac{E_d - E_c}{kT}\right)n - \frac{1}{2}N_cN_d\exp \left( \frac{E_d - E_c}{kT}\right) = 0 \)
Y de esta expresión podemos obtener:
    \(\displaystyle 2\exp \left( \frac{E_c - E_d}{kT}\right)\left(\frac{n}{N_d}\right)^2 + \left(\frac{N_c}{N_d}\right)\left(\frac{n}{N_d}\right)- \left(\frac{N_c}{N_d}\right) = 0 \)
Ecuación de segundo grado que tiene por solución :
    \(\displaystyle \frac{n}{N_d} = \frac{- \frac{N_c}{N_d} + \left[\left(\frac{N_c}{N_d}\right)^2 + 8\left(\frac{N_c}{N_d}\right)\times\exp\left(\frac{E_c - E_d}{kT}\right) \right]^{1/2}}{4\times\exp\left(\frac{E_c - E_d}{kT}\right)} \)
Y puesto que un valor negativo para la magnitud \((n/N_d)\) no tiene sentido físico tomaremos el signo positivo de la raiz para obtener la expresión del enunciado.
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás