PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de física de semiconductores

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física de semiconductores

Respuesta del ejemplo 15

La cantidad de impurezas introducidas en un demiconductor se reciona con la energía de Fermi por la primera de las expresiones escritas:
    \(\displaystyle N_d = N_{dn} \left[1 + \frac{1}{2}·\exp\left(\frac{E_d - E_F}{kT}\right) \right] \)
Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por n, obtenemos:
    \(\displaystyle n·N_d = n·N_{dn} \left[1 + \frac{1}{2}·\exp\left(\frac{E_d - E_F}{kT}\right) \right] \)
y reagrupando términos llegamos a:
    \(\displaystyle \frac{1}{2}·n· N_{dn}·\exp\left(\frac{E_d - E_F}{kT}\right) = n(N_d - N_{dn} ) \)
Si ahora recordamos que n viene dada por la ecuación:
    \(\displaystyle n = N_c·\exp \left(- \frac{E_c - E_F}{kT}\right) \)
Sustituyendo este valor en el primer miembro de la ecuación anterior, tenemos:
    \(\displaystyle \frac{1}{2}·N_c· N_{dn}·\exp \left(- \frac{E_c - E_F}{kT}\right)·\exp\left(\frac{E_d - E_F}{kT}\right) = n(N_d - N_{dn} ) \)
Por otra parte, de la condición de neutralidad eléctrica para un semiconductor tipo N:
    \(n = N_d - N_{dn} \Rightarrow N_{dn} = N_d - n \)
y sustituyendo en la ecuación anterior:
    \(\displaystyle \frac{1}{2}·N_c(N_d - n)·\exp \left( \frac{E_d - E_c}{kT}\right) = n^2 \)
Con lo que finalmente:
    \(\displaystyle n^2 + \frac{1}{2}·N_c·\exp \left( \frac{E_d - E_c}{kT}\right)·n - \frac{1}{2}·N_c·N_d·\exp \left( \frac{E_d - E_c}{kT}\right) = 0 \)
Y de esta expresión podemos obtener:
    \(\displaystyle 2\exp \left( \frac{E_c - E_d}{kT}\right)\left(\frac{n}{N_d}\right)^2 + \left(\frac{N_c}{N_d}\right)\left(\frac{n}{N_d}\right)- \left(\frac{N_c}{N_d}\right) = 0 \)
Ecuación de segundo grado que tiene por solución :
    \(\displaystyle \frac{n}{N_d} = \frac{- \frac{N_c}{N_d} + \left[\left(\frac{N_c}{N_d}\right)^2 + 8\left(\frac{N_c}{N_d}\right)\times\exp\left(\frac{E_c - E_d}{kT}\right) \right]^{1/2}}{4\times\exp\left(\frac{E_c - E_d}{kT}\right)} \)
Y puesto que un valor negativo para la magnitud \((n/N_d)\) no tiene sentido físico tomaremos el signo positivo de la raiz para obtener la expresión del enunciado.
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás