PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
cuestiones resueltas de electrónica física

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física electrónica

Respuesta del ejemplo 45

En un material homogéneo, en equilibria, el potencial solamente se desvia de un valor constante en las proximidades de una frontera en la que las condiciones fisicas imponen un valor difierente del potencial. Esta frontera puede estar definida, entre otras si tuaciones, por una union PN.
Considerando un modelo unidimensional podemos escribir para la concentracion de portadores minoritarios en el lado P:

    \(n(x) = Cte. \exp [q·V(x)/kT]\)
El valor de la constante depende de la elección del potencial de referencia para V. Así por ejemplo, tomando como nivel \(E_i/q = \psi_i\) , según hemos visto en el problema anterior, se tendrá:
    \(n(x) = n_i·\exp[q(V - \psi_i)/kT] \)
:Oe todos modos, nos interesa tomar V = 0 a una distancia infinita de la union, para que por la hipótesis de ionización total dada en el enunciado, dicha constante se haga igual a la densidad de portadores en el interior del material, es decir: \(Cte = n_o \simeq N_d\). De ese modo tenemos:
    \(n = N_d[qV/kT] = N_d\exp \phi \qquad (*) \)
or otra parte, la condición de neutralidad electrica se escribirá:
    \(n = N_d + p \simeq N_d\)
por lo que la ecuacin de Poisson nos permite hacer:
    \(\displaystyle\frac{d^2V}{dx^2} = \frac{q}{\varepsilon_s}(n - N_d)\qquad (**)\)
y sustituyendo (*) en (**) tenemos :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d^2V}{dx^2} \equiv \frac{kT}{q}· \frac{d^2\phi}{dx^2} = \frac{q}{\varepsilon_s}(N_d·\exp \phi - N_d)\Rightarrow \frac{d^2\phi}{dx^2} = \\
    \\
    = \frac{q^2·N_d}{kT·\varepsilon_s}(\exp \phi - 1)
    \end{array}\)
Esta ecuacion no puede resolverse en forma general por lo que tenemos que realizar algunas aproximaciones. Asi, por ejemplo, en el interior del material, lejos de la union, se tendra \(\phi << 1\), con lo que podemos desarrollar en serie la exponencial para obtener:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{d^2\phi}{dx^2} =\frac{q^2N_d}{kT\varepsilon_s}\phi \Rightarrow \frac{d^2\phi}{dx^2} = r^2\phi \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \phi = C_1\exp (-rx) + C_2\exp (rx) \end{array}\)
y considerando que \(\phi = 0\) para puntos muy alejados, nos queda:
    \(\displaystyle phi = C\exp \left[q\sqrt{\frac{N_d}{kT\varepsilon_s}}· x\right] \)
En esta ecuación el signo de C queda indeterminado, siendo positivo para una frontera superpoblada, con una densidad de portadores mayor que Nd y negativo cuando se trata de fronteras casi vacías, situación que tiene interes inmediato en el caso de uniones PN.
Otro caso que podemos estudiar con facilidad es aquel en que es grande y negativo, de forma que tengamos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d^2\phi}{dx^2} =-\frac{q^2·N_d}{kT·\varepsilon_s}·\phi \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow \phi = - \frac{1}{2}·\frac{q^2·N_d}{kT·\varepsilon_s}·x^2 + C_1·x + D = - \frac{q^2·N_d}{2kT·\varepsilon_s}(x-x_o)^2
    \end{array}\)
donde xo es una constante adecuada para proporcionar el ajuste conveniente en la solución anterior.
En las dos situaciones estudiadas, la densidad de portadores viene dada por:
    \(\displaystyle n = N_d\exp \phi \simeq N_d(1+ \phi) \simeq N_d \left[1 + C\exp \left(q\sqrt{\frac{N_d}{kT\varepsilon_s}}x\right)\right] \)
en los puntos lejanos a la unión, y
    \(\displaystyle n \simeq N_d\exp \left[- \frac{1}{2}\times \frac{q^2N_d}{2kT\varepsilon_s}(x-x_o)^2 \right] \)
en la región donde desciende rapidamente la densidad de portadores.
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás