PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
cuestiones resueltas de electrónica física

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física electrónica

Respuesta del ejemplo 35

Si llamamos Z al número de estados electrónicos por átomo contenidos en una celda unidad, entonces Z/Vc es el número de estados electrónicos por átomo y por unidad de volumen.
Sabemos que el volumen de la celda nos viene dado por:

    \(V_c = |\vec{a}_1\wedge\vec{a}_2\cdot \vec{a}_3|\)
En el caso de una estructura cúbica centrada en las caras, los vectores fundamentales son
    \(\displaystyle\begin{array}{l} \vec{a}_1= \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{j})\quad ; \quad \vec{a}_2= \frac{a}{2}(\hat{k} + \hat{j}) \\ \\ \vec{a}_3= \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{k}) \end{array} \)

Por lo que tendremos:

    \(\displaystyle V_c = \left|
    \begin{array}{ccc}
    a/2 & a/2 & 0 \\
    0 & a/2 & a/2 \\
    a/2 & 0 & a/2 \\
    \end{array}
    \right| = a^3/4\)
y de ahí que:
    \(\displaystyle \frac{Z}{V_c} = \frac{4Z}{a^3}\)
Será el número de estados electrónicos por átomo y por unidad de volumen.
Nos queda obtener el volumen de la esfera inscrita en la zona de Brillouin. Para ello tenemos que los vectores de la red recíproca son:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}_1^*= \frac{2\pi}{a}(\hat{i} + \hat{j}- \hat{k})\quad ; \quad \vec{a}_2^*= \frac{2\pi}{a}(- \hat{i}+\hat{k} + \hat{j}) \\ \\ \vec{a}_3^*= \frac{2\pi}{a}(\hat{i}- \hat{j} + \hat{k}) \end{array} \)
y esto nos da para la anchura de la zona de Brillouin:
    \(\displaystyle D = \frac{|a^*|}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{a} \)
por lo que el volumen de la esfera inscrita será:
    \(\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{\pi\sqrt{3}}{a}\right)^3 = \frac{4\pi^4}{a^3}\sqrt{3} \)
y el número de estados electrónicos por átomo contenidos en dicho volumen será:
    \(\displaystyle\frac{4Z}{a^3}V = \frac{16\pi^4\sqrt{3}Z}{a^9} \)
En el caso de una cúbica centrada en el centro, los vectores fundamentales son:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}_1= \frac{2\pi}{a}(\hat{i} + \hat{j}- \hat{k})\quad ; \quad \vec{a}_2= \frac{2\pi}{a}(- \hat{i}+\hat{k} + \hat{j}) \\ \\ \vec{a}_3 = \frac{2\pi}{a}(\hat{i}- \hat{j} + \hat{k}) \end{array} \)
y los vectores de la red recíproca:
    \(\displaystyle \vec{a}_1^*= \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{j})\quad ; \quad \vec{a}_2^*= \frac{a}{2}(\hat{k} + \hat{j})\quad ; \quad \vec{a}_3^*= \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{k}) \)
Estos valores nos dan:
    \(\displaystyle V_c = \left(\frac{a}{2}\right)^3 \left|
    \begin{array}{ccc}
    1 & 1 & -1 \\
    -1 & 1 & 1 \\
    1 & -1 & 1 \\
    \end{array}
    \right| = \frac{a^3}{2} \quad ;\quad D = \frac{|a^*|}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{a}\)
Y a partir de ellos tendremos:
    \(\displaystyle \frac{Z}{V_c} = \frac{2Z}{a^3}\quad ;\quad V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{\pi\sqrt{2}}{a}\right)^3 = \frac{16\pi^4\sqrt{2}}{3a^3}\)
Por lo que finalmente:
    \(\displaystyle N = \frac{2Z}{a^3}V = \frac{32\pi^4\sqrt{2}Z}{3a^3}\)
y este es el número de estados electrónicos por átomo contenidos en una esfera inscrita en la zono de Brillouin de una estructura cúbica centrada en el interior.
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás