PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de semiconductores - electrónica física , cristalografía

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física electrónica

A partir de la expresión:
    \(\displaystyle \vec{b_i} = \frac{2 \pi \left(\vec{a_j}\wedge \vec{a_k}\right)}{\vec{a_i} · \left(\vec{a_j}\wedge \vec{a_k}\right) } \qquad \) ; con i,j,k = 1,2,3 valores cíclicos
escribir de modo más explícito los valores \(\vec{b}_1, \vec{b}_2 \; y \; \vec{b}_3\) y la expresión que proporciona el volumen de la celda primítiva. ¿Qué figura geométrica forman los vectores \(\vec{b}_1, \vec{b}_2 \; y \; \vec{b}_3\) ?.

Respuesta del ejemplo 26

Para cada uno de los vectores referidos tenemos :
    \(\displaystyle\begin{array}{l} \vec{b_1} = \frac{2 \pi \left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right)}{\vec{a_1} · \left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right) } \quad ; \quad \vec{b_2} = \frac{2 \pi \left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right)}{\vec{a_2} · \left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right) } \\ \\ \vec{b_3} = \frac{2 \pi \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right)}{\vec{a_3} · \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right) } \end{array} \)

El volumen de la celda primitiva vendrá dado por :

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \left[\vec{b_1} \vec{b_2} \vec{b_3}\right] = \vec{b_1} \times \left(\vec{b_2}\wedge \vec{b_3}\right) = \\
    \\
    = (2 \pi)^3 · \frac{\left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right)\left[\left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right) \wedge \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right)\right]}{\left[\vec{a_1} · \left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right)\right]\left[\vec{a_2} · \left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right)\right]\left[\vec{a_3} · \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right)\right]}
    \end{array} \)
Pero se tiene
    \(\vec{a}_1·(\vec{a}_2 \wedge \vec{a}_3) = \vec{a}_2·(\vec{a}_3 \wedge \vec{a}_1) = \vec{a}_3·(\vec{a}_1 \wedge \vec{a}_2)= [\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3]\)
por lo que resultará :
    \( \displaystyle V^* = \vec{b}_1·(\vec{b}_2 \wedge \vec{b}_3) = (2\pi)^3\frac{(\vec{a}_2 \wedge \vec{a}_3)[(\vec{a}_3 \wedge \vec{a}_1)\wedge(\vec{a}_1 \wedge \vec{a}_2)]}{[\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3]^3}\)
Por otro lado, del cálculo vectorial sabemos que el doble producto vectorial contenido en el corchete viene dado por :
    \([(\vec{a}_3 \wedge \vec{a}_1)\vec{a}_2]\vec{a}_1\)
Con lo que resultará
    \( \displaystyle V^*= \vec{b}_1·(\vec{b}_2 \wedge \vec{b}_3) = (2\pi)^3\frac{[(\vec{a}_3 \wedge \vec{a}_1)·\vec{a}_2] [\vec{a}_1·(\vec{a}_2 \wedge \vec{a}_3)]}{[\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3]^3}\)
y como el volumen de la celda directa es :
    \(V = [\vec{a}_1·(\vec{a}_2 \wedge \vec{a}_3)] = [(\vec{a}_3 \wedge \vec{a}_2)·\vec{a}_1]\)
[{a. A nos quedará finalmente:

    \(V^* =\displaystyle (2\pi)^3·\frac{V^2}{V^3}= (2\pi)^3·\frac{1}{V}\)

Los vectores \(\vec{b}_1, \vec{b}_2 \; y \; \vec{b}_3\) forman un paralelepípedo.

Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás