PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
cuestiones resueltas de electrónica física

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física electrónica

Respuesta del ejemplo 18

La solución de la ecuación de Schrödinger para un electrón que está restringido a moverse en un cubo de arista a nos lleva a encontrar unos valores discretos para la energía que puede tener el electrón. Por consideraciones análogas a las del ejercicio 17, se encuentra:
    \(\displaystyle \epsilon_k = \frac{\hbar^2}{2m} k^2 = \frac{\hbar^2}{2m} \left(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2\right) \textrm{ con } k = 0; \; \pm \frac{2 \pi}{a} ; \; \pm \frac{4 \pi}{a} ; \ldots \)
Si consideramos un cristal cúbico constituido por celdas unidad primitivas de parámetro a, las funciones de Bloch:
    \(\Psi_k(r) = u_k(r) e^{ikr} \qquad ; \qquad \textrm{ con } u_k(r) = u_k(r+a) \)
son las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo que nos describen el movimiento de un electrón bajo un potencial periódico producido por átomos separados entre sí una distancia a.

Una zona de Brillouin es una celda de Wigner-Seitz en la red recíproca, es decir, aquella zona que tiene un volumen igual al volumen de la celda unidad de la red recíproca.

Puesto que todas las zonas tienen el mismo volumen, cada una de ellas puede reducirse a la primera zona mediante traslaciones G hacia esa zona.

Según lo visto, podemos decir que los valores permitidos del vector de onda k en la primera zona de Brillouin están dados por:
    \(\displaystyle k = 0; \quad \pm \frac{2 \pi}{a} ; \quad \pm \frac{4 \pi}{a} ; \ldots ; \quad \pm \frac{n \pi}{a} \qquad (\ast)\)
donde N es el número de celdas primitivas contenidas en el cristal y el valor que marca la frontera de la zona.

Vemos entonces que cada celda primitiva contribuye en cada banda de energía con un valor independiente de k. Teniendo en cuenta el principio de exclusión de Pauli, existirán 2N orbitales independientes (Estados cuánticos) en cada banda de energía,
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás